Ориняк, Ігор ВолодимировичМазурик, Роман Володимирович2024-06-032024-06-032024Мазурик, Р. В. Метод базових та згладжувальних рішень для аналізу статичної деформації геометрично­нелінійних одновимірних систем : дис. … д-ра філософії : 113 Прикладна математика / Мазурик Роман Володимирович. – Київ, 2024. – 211 с.https://ela.kpi.ua/handle/123456789/67033Мазурик Р.В. Метод базових та згладжувальних рішень для аналізу статичної деформації геометрично­нелінійних одновимірних систем. ― Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 Прикладна математика. ― Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського», Київ, 2024. Метою роботи є створення новітньої методології, алгоритмів і програм розрахунку просторових геометрично нелінійних одновимірних систем на основі розривного базового, БР, і згладжувального, ЗР, рішень, де базове рішення є відносно простою круговою чи хеліксною геометрією з відповідно «вбудованою» системою базових сил, що максимально враховує геометричну нелінійність задачі та задає криволінійну систему координат для отримання аналітичного ЗР; а ЗР, в свою чергу, коректує БР за допомогою спеціальної ітераційної процедури уточнень. Інженерні розрахунки машин та конструкцій традиційно виконується в геометрично лінійній постановці, де вважається що деформаційні переміщення і зміна форми тіла є незначними і не впливають на розрахункову схему. Впровадження в різних галузях промисловості більш гнучких композитних матеріалів (наприклад, в літакобудуванні), зафіксовані в сучасних нормативних документах вимоги щодо покращання точності аналізу (трубопровідна індустрія, підйомно­транспортні машини) з врахуванням великих деформаційних переміщень – роблять актуальними створення методів аналізу в геометрично­нелінійній, ГН, постановці. Більше того, сучасна тенденція розширення сфери застосування проектних розрахунків на гнучкі медичні прибори (ендоскопи), розбірні будівельні конструкції (палатки, манежи), спортивне спорядження (шести, ракетки), вантові конструкції спонукає до створення методів і програм розрахунку, що враховують зміну форми тіла в процесі навантаження. Застосування ГН аналізу гнучких довгих тіл є актуальним при геометричному моделюванні (побудова апроксимаційних і інтерполяційних сплайнів) траєкторій і зображень, а також в кіноіндустрії, де вимога правдоподібності згенерованих комп’ютером процесів деформування та руху приводить до все ширшого застосування алгоритмів, що основані на фізично обґрунтованих моделях, тобто є рішеннями диференційних рівнянь деформації балок чи канатів. Як не дивно, сучасні комерційні програми, при всій своїй досконалості, часу і традиціям розвитку, науковому забезпеченні, зручності застосування та представлення вхідних і вихідних даних ­­ все ще не здатні вирішувати подібні задачі. Це пов’язано як з недоліками аналітичних розрахункових елементів, що застосовуються для моделювання властивостей фізичних тіл, так і з організацією ітераційних процесів. Власне, з цим і пов'язаний широкий потік наукових розробок в літературі, які, проте, мають вузьке застосування та недостатнє підтвердження чисельними та експериментальними тестами. До недоліків існуючих методів віднесемо наступне. Перше, майже всі вони базуються на принципах мінімізації енергії для заздалегідь вибраних степенях свободи в деяких точках і апроксимуючих функцій для всіх інших проміжних точок. Очевидно, є сумнівним те, чи можуть такі штучно сконструйовані функції моделювати всі диференційні залежності між фізичними і геометричними параметрами задач. Друге, для нелінійних задач необхідно проводити лінеаризацію, щоб отримати систему лінійних рівнянь. Оскільки всі існуючі методи будують неперервні ітераційні наближення, що мало відрізняються від попереднього і це приводить до дуже довгих обчислень (сотні ітерацій) чи до рішення задач де ГН має обмежений вплив на результати (декілька десятків процентів); окрім того вони вимагають точного початкового положення, наприклад для нульових зовнішніх дій, і це значно ускладнює задачу, коли початкове положення тіла невідоме. Третє, існують дві ГН математичні моделі довгих гнучких тіл – балка і канат, причому відомо, що сильно розтягнута балка отримує властивості канату. Проте в літературі не вказуються межі їх окремого застосування, не описуються комбіновані методи, коли на деяких ділянках може застосовуватися менш трудомістка модель каната (наприклад внутрішні ділянки), а модель балки ­ на границях тіла, чи в зонах контакту з іншими тілами. Таким чином, важливим є створення методів чисельного аналізу ГН одновимірних задач, які базувались би на точних аналітичних рішеннях моделей канату та простої, розтягнутої, і стисненої криволінійної балки для елементарних базових ділянок; та розробка ефективного алгоритму уточнень, що дозволяв би незалежне уточнення положення кожної базової ділянки (геометрії) на заданій ітерації з наступним його згладжуванням за допомогою ЗР, що значно прискорить процес уточнень і зробить його незалежним від правильного вибору початкового положення. В першому розділі проведено аналіз актуальності задачі деформації в довгих гнучких тілах, існуючі рішення та зроблена постановка задачі досліджень. Показано широку сферу застосування даної задачі в різних сферах проектування конструкцій і пристроїв. Також розглянуто як з часом розвивалися методи розрахунку балок і канатів, зокрема метод скінченних елементів та метод початкових параметрів. Досліджено історію балкових сплайнів, їх формулювання і недоліки а також кількісне поняття естетичної міри кривої. Для геометрично нелінійних балок розглянуто існуючі рішення для поперечно навантажених довгих гнучких систем, що мають властивості як канату так і балки. Для просторових балкових систем розглянуто різні підходи до моделювання просторових систем, зокрема з допомогою хеліксного елемента, а також детально проаналізована популярна коротаційна постановка для визначальних рівнянь. Сформульовані задачі досліджень. Другий розділ присвячено моделюванню плоских та просторових розгалужених канатних систем. В ньому розглянуто адаптацію методу стрільби та методу абсолютних координат для канатів під дією зосереджених сил та приклади їх обчислень. Показано, що популярний метод стрільби не забезпечує збіжності результатів і не може бути основою побудови розрахункових алгоритмів. Представлено метод базових та згладжувальних рішень для канатних систем який є стійким при довільних значеннях сил, початкових довжин і характеристик видовження канату. Основу методу складає нове аналітичне рішення для канатного елемента, як відхилення від кругової геометрії. Продемонстровано ефективність цього методу на широко відомих в літературі прикладах (гнучкий райзер, просторова система) та розгалужених системах з різним натягом елементів системи. Усі розглянуті плоскі та просторові приклади демонструють ідеальну збіжність процедури незалежно від обраної початкової позиції та потребують на порядок менше розрахункових елементів, ніж це вимагають інші моделі. Третій розділ присвячено створенню принципово нової методології розрахунку геометрично нелінійних, ГН, балок, що представляє собою суму криволінійного розривного базового рішення, БР, та згладжувального рішення, яке будується в криволінійних координатах БР. Методологія має деякі особливості коротаційного ГН підходу, проте містить принципово нові ідеї і результати. Вперше в літературі запропоновано ефективну комбіновану схему застосування балкових і канатних елементів, коли в зоні опор, контактів, дій зосереджених сил застосовуються балкові елементи, а на всіх інших ділянках – канатні. Проведено порівняльний аналіз застосування для задач геометричного моделювання (побудова сплайнів) трьох різних методів: коротаційний балковий сплайн, КБС, сплайни Безьє, BZ, та ГН балка, ГНБ. Показано, що BZ значно поступається по якості перед двома іншими, і дає значні локальні піки кривизн, і вимагає подальшого уточнення чи оптимізації. КБС для всіх розглянутих задач показав хороші результати. Четвертий розділ узагальнює методологію базового та згладжувального рішень на тривимірний випадок. Розглядаються задачі спрощеного рівня, які втім і аналізуються в основному в літературі, для яких, власне, можна отримати прийнятний результат і без згладжувального рішення. Порівняння з відомими задачами показують, що навіть самого базового рішення достатньо для точного наближення рішення невеликою кількістю елементів, зазвичай на порядки нижче, ніж це вимагається в лінійних моделях. Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному: В додаток до відомого класичного рішення для ланцюгової лінії (catenary), що є основою всіх точних алгоритмів, для розрахунків канату отримано альтернативне точне (на ділянці) рішення, що представляє собою суму частинки кола та ЗР, що є рішенням диференційних рівнянь четвертого порядку; і яке, на відміну від ланцюгової лінії, дозволяє точно враховувати довільне видовження канату, тобто розглядати досить еластичні канати. Рішення отримано в вигляді зручному для застосування методу початкових параметрів, МПП (transfer matrix method). Для попередньо розтягнутої (стисненої) ділянки кола під дією розподілених дотичних і нормальних навантажень вперше отримані точні аналітичні рішення диференційних рівнянь 6-го порядку в вигляді зручному для застосування МПП. Для забезпечення комп’ютерної збіжності формул для ділянок, що є майже прямими (кут дуги кола не перевищує 1°), вперше отримані розклади цих рішень в ряд Тейлора, і продемонстровано, що експоненціальні («розтягнуті») рішення співпадають з тригонометричними («стиснутими») рішеннями при характерному значенні осьової сили. В свою чергу при відсутності «вбитої» осьової сили лінійне рішення співпадає з тригонометричним. Це забезпечує неперервність загального рішення тіла в цілому при довільній історії навантаження і зміні геометрії. Вперше сформульовані критерії для яких комбінацій геометричних, фізичних і механічних параметрів задане довге тіло можна розглядати як канат чи як балку, та отримані деякі конкретні рішення. Вперше запропонована методика і умови комбінованого спряження канату та балки. Продемонстровані переваги такого підходу, коли внутрішня частина тіла моделюється як канат, а біля границь використовується модель балки. Вперше запропоновано базове рішення для трьохвимірного елемента як ділянки хелікса, і всі геометричні параметри якого (базисні вектори, відносні положення точок) однозначно зв’язані з системою базисних глобальних моментів та характеристиками жорсткості січення. Показано, що для деяких видів закріплення просторової балки наявність такого БР навіть при відсутності ЗР може забезпечити достатню точність ГН деформування. Як основний науковий результат роботи вперше запропоновано метод базових розривних рішень, БР, та згладжувальних рішень, ЗР. Метод є новим варіантом відомого коротаційного підходу, де БР є криволінійною ділянкою (елемент кола чи хелікса) і в цілому враховує ГН деформацію від значних внутрішніх сил та моментів, проте є розривним і не неперервним. ЗР будується в локальних криволінійних координатах, є лінійним і незначним, згладжує БР і забезпечує неперервність всіх параметрів, і слугує для уточнення БР на наступній ітерації. Процедура уточнення є динамічною, і шляхом корекції коефіцієнта уточнення враховує збіжність чи розбіжність результатів на двох послідовних ітераціях. Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що: 1. На прикладі канату, що підданий дії системи зосереджених сил, продемонстровані беззаперечні переваги коротаційних підходів, порівняно з популярним методом стрільби. Коротаційні підходи є стійкими при довільній кількості ділянок, інтенсивності сил, жорсткості січення канату, та його початковій довжині. Що стосується методу стрільби, то він починає розходитися для канатів великої довжини і великій кількості сил. 2. В усіх розглянутих задачах, методах і прикладах застосовується метод початкових параметрів, як найбільш зручний метод організації і алгоритмізації розрахунків. В роботі доповнена його теорія і практика, особливо коли ділянки є розривними і власне рівняння спряження (умови на краях елементів) забезпечують загальну нерозривність методу. 3. Запропоноване комплексне поєднання балкових і канатних елементів, коли біля особливих точок застосовуються канатні, на порядки спрощує розрахунки і при цьому дозволяє находити всі особливості і краєві ефекти. 4. Створений метод розрахунку ГН поведінки не вимагає задання початкової геометрії тіла. Це дуже корисно для проведення діагностичних досліджень конструкцій, початковий стан яких невідомий, а навантажений (деформований) стан задається за допомогою безпосередніх геодезичних вимірювань. 5. Розроблені методи є корисними для проведення сплайнів, коли залаються положення граничних точок, напрямки дотичних в них, та загальна довжина лінії. Тоді отримана запропонованим методом крива є оптимальною серед можливих за критерієм мінімуму енергії, що часто застосовується в геометричному проектуванні. Подібним чином отримані результати можуть застосовуватися для проектування гріпперів (захватів) для роботів та вибору їх довжини та властивостей жорсткості. 6. Приведені значення розрахункових переміщень, сил в табличній формі в вибраних точках можуть слугувати для тестування інших програм та методик, адже на відміну від результатів приведених в літературі, вони отримані для екстремальних значень характеристик жорсткості, великого видовження і значної зміни форми. 7. Нова методологія розрахунку ГН поведінки довгих елементів з використанням розривного БР та ЗР відкриває нові перспективи до створення розрахункових методів взагалі, і може мати потужний вплив на створення новітніх розрахункових комплексів.211 с.ukканатбалкаметод початкових параметрівсистема гнучких елементівсплайниметод базових та згладжувальних рішеньхелікселастікаумови спряженнявтрата стійкостіcablebeammethod of initial parameterssystem of flexible elementssplinesmethod of basic and smoothing solutionshelixelasticityconjugation conditionsloss of stabilityThesis Doctoral004.021/539.371