Обчислювальні схеми та вагові функції скінченноелементного методу Петрова-Гальоркіна для високоточного моделювання конвективно- дифузійних процесів
| dc.contributor.author | Сірик, Сергій Валентинович | |
| dc.contributor.degreedepartment | прикладної математики | uk |
| dc.contributor.degreefaculty | прикладної математики | uk |
| dc.contributor.degreegrantor | Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут" | uk |
| dc.date.accessioned | 2015-11-06T13:47:12Z | |
| dc.date.available | 2015-11-06T13:47:12Z | |
| dc.date.issued | 2015 | |
| dc.description.abstracten | Thesis for a Ph.D. degree by specialty 01.05.02 – Mathematical Modeling and Computational Methods. – National Technical University of Ukraine "Kyiv Polytechnic Institute", Kyiv, 2015. The thesis is devoted to developing efficient computational schemes and weight functions of finite-element Petrov-Galerkin method to increase the accuracy, speed up the convergence of computer modeling of convection-diffusion processes, increase stability of simulation results and accelerate its computer implementation. To solve these problems it has been developed new patterns of weighting functions Petrov-Galerkin method and selection methods of stabiliza-tion parameters. For models of stationary processes described by differential equations of convection-diffusion-reaction type the new theoretical (a priori) estimates of accuracy and conver-gence rate have been established. For modelling non-stationary processes of convection-diffusion by Petrov-Galerkin method the new computational schemes in the form of ordinary differential equations and onestep difference schemes with weights have been developed as well as proved theoretically that the order of its maximum attainable local approximation accuracy is two units higher than corresponding order of SUPG, GLS, USFEM methods and Petrov-Galerkin method with piecewise quadratic weighted functions. A new approach for improving the accuracy of modeling convection-diffusion processes by Petrov-Galerkin methods with us-ing mass lumping has been proposed. The software was developed to implement the proposed computational schemes and have their practical aplications for research in the theory of heat and mass transfer, hydrodynamics, magnetohydrodynamics, plasma physics. Experimental research and practical applications of the proposed weighting functions, numerical schemes and methods have shown an increase in the accuracy of modeling for various applications in the 1.2-4.5 times. | uk |
| dc.description.abstractru | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специ-альности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Нацио-нальный технический университет Украины “Киевский политехнический институт”, Ки-ев, 2015. Диссертация посвящена разработке эффективных вычислительных схем и весовых функций конечноэлементного метода Петрова-Галеркина для реализации компьютерного моделирования конвективно-диффузионных процессов. Предложены новые структуры непрерывных весовых функций, которые через варьируемые параметры, связанные с ре-брами сетки триангуляции, позволяют гибко настраивать форму весовых функций в за-висимости от поля скоростей переноса и диффузных параметров, что дает возможность более гибко по сравнению с существующими известными стабилизированными конечно-элементными методами типа SUPG, GLS, USFEM и SOLD подстраивать и адаптировать весовые функции под текущий локальный поток, регулировать уровень и направление схемной искусственной диссипации, и, соответственно, влиять на стабилизационные свойства численных схем. Это, в свою очередь, дает увеличение точности компьютерно-го моделирования конвективно-диффузионных процессов и повышение устойчивости даже при очень сильном преобладании конвективных процессов над диффузионными. Разработан метод выбора стабилизирующих параметров в предложенных весовых функ-циях, обеспечивающий увеличение точности и устойчивости результатов моделирования при моделировании нестационарных конвективно-диффузионных процессов, в том числе и нелинейных процессов, математические модели которых представляются уравнениями типа Бюргерса, гидродинамическими и магнитогидродинамическими уравнениями. Про-веденные экспериментальные исследования предложенного метода в рамках реальных проектов показали увеличение точности моделирования для различных практических применений в 1.4–3.5 раз по сравнению с другими известными стабилизированными ко-нечноэлементными методами типа SUPG, GLS, USFEM и SOLD, а также разностными методами типа симметричных схем Кранка-Николсона. Предложенные конечномерные математические модели и вычислительные схемы на основе конечноэлементного метода Петрова-Галеркина не приводят к существенному увеличению вычислительных затрат по сравнению с классическими конечноэлементными методами Галеркина, и, как пока-зывают проведенные экспериментальные исследования, при моделировании стационар-ных процессов генерирует систему алгебраических уравнений с меньшим числом обу-словленности (по сравнению с методами SUPG, GLS, USFEM), а для нестационарных процессов — системы обыкновенных дифференциальных уравнений с меньшим числом жесткости, для интегрирования которых требуется меньшее количество шагов, чем при использовании упомянутых методов. Для моделей стационарных процессов, описываемых дифференциальными уравне-ниями типа конвекции-диффузии-реакции получены новые, а для уравнений без реак-тивных членов усовершенствованы существующие теоретические оценки точности и скорости сходимости процесса моделирования методом Петрова-Галеркина в полунорме соболевского пространства Н1, а также нормах пространств L2 и C, использование кото-рых позволяет обеспечить уменьшение погрешности результатов моделирования. Для стационарных процессов без реакционных составляющих данные оценки уточняют и обобщают известные оценки, полученные ранее D.F. Griffiths, J. Lorenz и M. Kunze в том смысле, что данные оценки являются частными или "огрубленными" случаями получен-ных в работе оценок и соответствующих утверждений об их справедливости. Разработаны новые вычислительные схемы метода Петрова-Галеркина с предло-женными весовыми функциями в виде систем обыкновенных дифференциальных урав-нений и одношаговых разностных схем с весами для моделирования нестационарных процессов конвекции-диффузии, теоретически установлено свойства их устойчивости и сходимости в одномерном линейном случае, и доказано, что эти схемы имеют 4-й поря-док точности локальной погрешности по пространственной переменной в отличии от из-вестных методов SUPG, GLS и USFEM, а также метода Петрова-Галеркина с кусочно-квадратичными весовыми функциями, точность локальной погрешности аппроксимации которых в текущей ситуации не превышает 2-го порядка. Впервые предложен подход к повышению точности конечноэлементных методов Петрова-Галеркина для моделирования процессов конвекции-диффузии при использова-нии сосредоточений, основанный на анализе и сравнении локальных погрешностей ис-ходной и сосредоточенной аппроксимаций на решении дифференциальной задачи. С его помощью получены вычислительные схемы в виде систем обыкновенных дифференци-альных уравнений и одношаговых разностных схем, нечувствительные к негативным диссипативным и дисперсионным эффектам, снижающим точность. Для разностных схем теоретически доказана среднеквадратическая устойчивость. Разработаны программные средства для реализации предложенных вычислительных схем и методов моделирования, а также их практического использования для научных исследований в области теории тепломассопереноса, гидродинамики, магнитной гидро-динамики, физики плазмы. Проведен ряд вычислительных экспериментов, демонстри-рующих эффективность предложенных схем. Экспериментальные исследования и прак-тические применения предложенных весовых функций, вычислительных схем и методов показали увеличение точности моделирования для различных применений в 1.2–4.5 раз. | uk |
| dc.description.abstractuk | Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, Київ, 2015. Дисертаційна робота присвячена розробці ефективних обчислювальних схем та вагових функцій скінченноелементного методу Петрова-Гальоркіна для збільшення точності, прискорення збіжності комп'ютерного моделювання конвективно-дифузійних процесів, підвищення стійкості результатів моделювання та прискорення його обчислювальної реалізації. Для розв'язання поставлених задач розроблено нові структури вагових функцій методу Петрова-Гальоркіна і метод вибору їх стабілізуючих параметрів, для моделей стаціонарних процесів, що описуються диференціальними рівняннями типу конвекції-дифузії-реакції, встановлено нові теоретичні (апріорні) оцінки точності та швидкості збіжності, для моделювання нестаціонарних процесів конвекціїдифузії на основі методу Петрова-Гальоркіна розроблено нові обчислювальні схеми у вигляді систем звичайних диференціальних рівнянь та однокрокових різницевих схем з вагами і теоретично доведено, що порядок їх максимально досяжної локальної точності апроксимації на дві одиниці більше порівняно з методами SUPG, GLS, USFEM і методом Петрова-Гальоркіна з кусково-квадратичними ваговими функціями, запропоновано новий підхід до підвищення точності моделювання конвективно-дифузійних процесів методами типу Петрова-Гальоркіна при використанні зосереджень, розроблено програмні засоби для реалізації запропонованих обчислювальних схем моделювання та їх практичного використання для досліджень в області теорії тепломасопереносу, гідродинаміки, магнітної гідродинаміки, фізики плазми. Експериментальні дослідження та практичні застосування запропонованих вагових функцій, обчислювальних схем та методів показали збільшення точності моделювання для різних застосувань від 1.2 до 4.5 разів. | uk |
| dc.format.page | 27 л. | uk |
| dc.identifier.uri | https://ela.kpi.ua/handle/123456789/13758 | |
| dc.language.iso | uk | uk |
| dc.publisher | Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут" | uk |
| dc.publisher.place | Київ | uk |
| dc.status.pub | published | uk |
| dc.subject.udc | 519.63: 536.25: 532.5 | uk |
| dc.title | Обчислювальні схеми та вагові функції скінченноелементного методу Петрова-Гальоркіна для високоточного моделювання конвективно- дифузійних процесів | uk |
| dc.type | Other | uk |
| thesis.degree.level | candidate | uk |
| thesis.degree.name | кандидат технічних наук | uk |
| thesis.degree.speciality | 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи | uk |