Брахістохронний рух матеріальної точки на похилій площині в однорідному гравітаційному полі

Скорочена інформація про документ
dc.contributor.authorЛегеза, Віктор Петрович
dc.contributor.authorСавчук, Світлана Геннадіївна
dc.date.accessioned2021-03-04T10:34:55Z
dc.date.available2021-03-04T10:34:55Z
dc.date.issued2019
dc.description.abstractenBackground. The variational problem, which is posed and solved in this work, is a natural generalization of the classical problem of I. Bernoulli about the search for brachistochrones in a vertical plane. In the proposed formulation, it is new and relevant from a practical point of view in such areas as engineering, transport and logistics, sports events, etc. Objective. The aim of the paper is to find such a curve on an inclined plane, moving along which, without an initial velocity in a uniform gravitational field, from one given point of the plane to another, the material point will make such a transition in the shortest time. Methods. To achieve this goal, the classical methods of the calculus of variations were used, namely, the Euler equation. Results. A time functional is constructed, using which the differential equation of the spatial brachistochrone, which lies on an inclined plane, is analytically derived. After its integration in a closed form, an algebraic brachistochrone equation is obtained. The results of the study are illustrated graphically. At the starting point M of the brachistochrone, the direction of the initial velocity of the material point is established. A comparative analysis of the transition time for the optimal brachistochrone curve and two alternative paths of motion of the material point is carried out. Conclusions. It is proved that the projection of the brachistochrone on the plane is not a cycloid. It is shown that the vector of the initial velocity of the material point at the starting point M of the brachistochrone is perpendicular to the x-axis. It was established that the minimum time of transition depends on the parameter a of the inclined plane, the energy dissipation coefficient k, and also on the coordinates of the starting M and finishing N points through which the brachistochrone passes.uk
dc.description.abstractruПроблематика. Вариационная задача, которая поставлена и решена в данной работе, является естественным обобщением классической задачи Бернулли о поиске брахистохроны в вертикальной плоскости. В предложенной постановке она является новой и актуальной с практической точки зрения в таких областях, как машиностроение, транспорт и логистика, спортивно-массовые мероприятия и т.д. Цель исследования. На наклонной плоскости найти такую кривую, двигаясь по которой без начальной скорости в однородном гравитационном поле из одной заданной точки в другую точку этой плоскости материальная точка осуществит такой переход за минимальное время. Методика реализации. Для достижения поставленной цели в работе использовались классические методы вариационного исчисления, а именно уравнение Эйлера. Результаты исследования. Построен функционал времени, с использованием которого аналитически выведено дифференциальное уравнение пространственной брахистохроны, которая лежит на наклонной плоскости. После его интегрирования в замкнутой форме получено алгебраическое уравнение брахистохроны. Результаты исследования проиллюстрированы графически. В стартовой точке M брахистохроны установлено направление вектора начальной скорости материальной точки. Проведен сравнительный анализ быстродействия для оптимальной кривой – брахистохроны – и двух альтернативных путей движения материальной точки. Выводы. Доказано, что проекция брахистохроны на плоскость OXZ не является циклоидой. Показано, что вектор начальной скорости материальной точки в стартовой точке M брахистохроны перпендикулярен оси абсцисс. Установлено, что минимальное время быстродействия зависит от параметра a наклонной плоскости, коэффициента k диссипации энергии, а также от координат стартовой M и финишной точек N, через которые проходит брахистохрона.uk
dc.description.abstractukПроблематика. Варіаційна задача, яка поставлена і розв’язана в цій роботі, є природним узагальненням класичної задачі Бернуллі про пошук брахістохрони у вертикальній площині. В запропонованій постановці вона є новою і актуальною з практичною точки зору в таких галузях, як машинобудування, транспорт і логістика, спортивно-масові заходи тощо. Мета дослідження. На похилій площині знайти таку криву, рухаючись вздовж якої без початкової швидкості в однорідному гравітаційному полі з однієї заданої точки в іншу задану точку цієї площини матеріальна точка здійснить такий перехід за мінімальний час. Методика реалізації. Для досягнення зазначеної мети в роботі використовувались класичні методи варіаційного числення, а саме рівняння Ейлера. Результати дослідження. Побудовано функціонал часу, з використанням якого аналітично виведено диференціальне рівняння просторової брахістохрони, що лежить на похилій площині. Після його інтегрування в замкненій формі отримано алгебричне рівняння брахістохрони. Результати дослідження проілюстровано графічно. У стартовій точці M брахістохрони встановлено напрямок вектора початкової швидкості матеріальної точки. Проведено порівняльний аналіз швидкодії для оптимальної кривої — брахістохрони двох альтернативних шляхів руху матеріальної точки. Висновки. Доведено, що проекція брахістохрони на площину OXZ не є циклоїдою. Показано, що вектор початкової швидкості матеріальної точки в стартовій точці M брахістохрони є перпендикулярним осі абсцис. Встановлено, що мінімальний час швидкодії залежить лише від параметра a похилої площини, коефіцієнта k дисипації енергії, а також від координат стартової M і фінішної N точок, через які проходить брахістохрона.uk
dc.format.pagerangeС. 15-23uk
dc.identifier.citationЛегеза, В. П. Брахістохронний рух матеріальної точки на похилій площині в однорідному гравітаційному полі / В. П. Легеза, С. Г. Савчук // Наукові вісті КПІ : міжнародний науково-технічний журнал. – 2019. – № 2(124). – С. 15–23. – Бібліогр.: 29 назв.uk
dc.identifier.doihttps://doi.org/10.20535/kpi-sn.2019.2.167495
dc.identifier.urihttps://ela.kpi.ua/handle/123456789/39788
dc.language.isoukuk
dc.publisherКПІ ім. Ігоря Сікорськогоuk
dc.publisher.placeКиївuk
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by/4.0/uk
dc.sourceНаукові вісті КПІ : міжнародний науково-технічний журнал, 2019, № 2(124)uk
dc.subjectваріаційна задачаuk
dc.subjectбрахістохронаuk
dc.subjectциклоїдаuk
dc.subjectрівняння Ейлераuk
dc.subjectфункціонал часуuk
dc.subjectчас швидкодіїuk
dc.subjectvariational problemuk
dc.subjectbrachistochroneuk
dc.subjectcycloiduk
dc.subjectEuler equationsuk
dc.subjecttime functionaluk
dc.subjecttransition timeuk
dc.subjectвариационная задачаuk
dc.subjectбрахистохронаuk
dc.subjectциклоидаuk
dc.subjectуравнения Эйлераuk
dc.subjectфункционал времениuk
dc.subjectвремя быстродействияuk
dc.subject.udc534.1+517.988uk
dc.titleБрахістохронний рух матеріальної точки на похилій площині в однорідному гравітаційному поліuk
dc.title.alternativeBrahistochronous motion of the material point on an inclined plane in a uniform gravitational fielduk
dc.title.alternativeБрахистохронное движение материальной точки на наклонной плоскости в однородном гравитационном полеuk
dc.typeArticleuk

Файли

Контейнер файлів
Зараз показуємо 1 - 1 з 1
Ескіз
Назва:
NVKPI2019-2_02.pdf
Розмір:
841.72 KB
Формат:
Adobe Portable Document Format
Завантажити
Ліцензійна угода
Зараз показуємо 1 - 1 з 1
Ескіз недоступний
Назва:
license.txt
Розмір:
9.01 KB
Формат:
Item-specific license agreed upon to submission
Опис:
Завантажити

Зібрання

Наукові вісті КПІ: міжнародний науково-технічний журнал, № 2(124)