Крайовi задачi на нескiнченновимiрних многовидах

Скорочена інформація про документ
dc.contributor.authorПотапенко, Олексій Юрійович
dc.date.accessioned2019-09-05T11:48:27Z
dc.date.available2019-09-05T11:48:27Z
dc.date.issued2019
dc.description.abstractenThe thesis deals with constructing and studying boundary value problems in domains in infinite-dimensional spaces and manifolds. Research of boundary value problems with infinite-dimensional argument is one of the most important tasks of functional analysis. One of the research subjects of functional analysis are infinitedimensional topological vector spaces, their mappings and relevant objects. Historically functional analysis emerged as a mean to research Fourier transformation, differential and integral equations. Starting from the second half of XX-th century functional analysis expanded to include a range of new sections via generalizing classical finite-dimensional theory results to infinite-dimensional case. The main part of the thesis consists of an introduction, four sections, divided into subsections, conclusions, list of references and an appendix with the list of the author’s publications concerning the topic of the thesis and the scientific seminars and conferences, at which the obtained results were reported. The introduction grounds the relevance of the research topic, gives short historical review of its state, formulates the purpose and tasks of the research, indicates the scientific novelty and also points out where the results of the dissertation have been discussed and published. Section 1 provides review of works, which are relevant to the topic of the dissertation research. A review of classical results of Riemannian geometry, that relate to the subject of research, is given, i.e., definition of a Riemannian manifold, metric tensor existence, Riemannian connection, Levi–Civita connection and completeness of a Riemannian manifold. A number of modern papers on Riemannian geometry, that consider elliptical equations on Riemannian manifolds, is reviewed. Fomin and Skorokhod directional differentiabilities of measures, differentiabilty along vector fields, are reviewed, connection between them is established. Section 2 considers infinite-dimensional Riemannian manifolds. The construction of internal metric is considered on a connected Riemannian manifold, i.e., infimum of lengths of piecewise smooth curves that connect respective points. It is shown that the topology of a connected Riemannian manifold, induced by the internal metric, is not weaker than the original topology. A condition of the atlas uniformity of a Riemannian manifold is proposed. It is proved that a uniform Riemannian manifold is complete with respect to the internal metric. It is shown that under some additional conditions, which hold in case of a uniform atlas, internal metric is consistent with the original manifold’s topology. Actually, the conditions needed to prove internal metric consistency, are weaker than atlas uniformity, however due to the need for metric completeness, we expect Riemannian manifolds uniformity later throughout the dissertation. In order to give a non-trivial example, it is shown that, when some additional conditions hold, a domain boundary and a joint function level surface are Riemannian manifolds with uniform atlases. In Section 3 L2-version of Laplacian on an (infinite-dimensional) Riemannian manifold is introduced. We prove the correctness of Dirichlet problem for equations with the introduced Laplacian in a domain in a Riemannian manifold of a certain class. Correctness is considered as existence and uniqueness of a problem’s solution. A model example of a uniform Riemannian manifold, for which all the technical conditions, used to prove correctness of the given Dirichlet problem, is given. Lpv vector fields spaces are introduced, in a similar fashion to the way that Bochner integrability is built. Integral of an integrable vector field does not make sense unless the manifold is embedded in a vector space. It is proved that a measurable vector field belongs to Lpv if and only if its norm belongs to the corresponding Lp functional space. Lpv completeness is proven. L2v is in particular used to construct the Laplacian. Section 4 examines a diffeomorphic mapping between infinite-dimensional Riemannian manifolds with uniform atlases, as a mean to extend the class of correct boundary value problems. Two examples are given to illustrate the diffeomorphisms method. The first example proves correctness of a certain class of boundary value problems in a domain in a Hilbert space. The second constructs a boundary value problem, associated with stereographical sphere projection, hence illustrating the diffeomorphisms method on Riemannian manifolds that are not domains in a Hilbert space.uk
dc.description.abstractruДиссертация посвящена построению и исследованию краевых задач в области на бесконечномерных многообразиях и пространствах. Предложено условие равномерности атласа риманова многообразия, выполнение которого позволяет доказать метрическую полноту многообразия по внутренней метрике. Доказано, что при выполнении некоторых дополнительных условий, которые, в том числе, выполняются в случае равномерности атласа, внутренняя метрика согласована с исходной топологией многообразия. Показано, что при выполнении некоторых условий граница области и поверхность совместного уровня в гильбертовом пространстве есть римановы многообразия с равномерными атласами. Предложена L2-версия лапласиана по мере на (бесконечномерном) римановом многообразии. Приведен модельный пример равномерного риманова многообразия, для которого реализуются все условия, использованные при построении введеного лапласиана и при доказательстве корректности задач Дирихле определённого класса. Исследовано диффеоморфное отображение между бесконечномерными римановыми многообразиями с равномерными атласами как способ расширения класса корректных краевых задач. Приведено два примера использования метода диффеоморфизмов.uk
dc.description.abstractukДисертацiя присвячена побудовi i дослiдженню крайових задач в областi на нескiнченновимiрних многовидах i просторах. Запропонована умова рiвномiрностi атласу рiманового многовиду, виконання якої дозволяє довести метричну повноту многовиду за внутрiшньою метрикою. Доведено, що при виконаннi певних додаткових умов, якi, зокрема, виконуються при умовi рiвномiрностi атласу, внутрiшня метрика є узгодженою з вихiдною топологiєю многовиду. Показано, що при виконаннi певних умов межа областi та поверхня сумiсного рiвня функцiй в гiльбертовому просторi є рiмановими многовидами з рiвномiрними атласами. Запропоновано L2-версiю лапласiана за мiрою на (нескiнченновимiрному) рiмановому многовидi. Наведено модельний приклад рiвномiрного рiманового многовиду, для якого реалiзуються всi умови, використанi при побудовi уведеного лапласiана i при доведеннi коректностi задач Дiрiхле певного класу. Дослiджено дифеоморфне вiдображення мiж нескiнченновимiрними рiмановими многовидами з рiвномiрними атласами як спосiб розширення класу коректних крайових задач. Наведено два приклади використання методу дифеоморфiзмiв.uk
dc.format.page21 с.uk
dc.identifier.citationПотапенко, О. Ю. Крайовi задачi на нескiнченновимiрних многовидах : автореф. дис. … канд. фіз.–мат. наук : 01.01.01 – математичний аналiз / Потапенко Олексiй Юрiйович. – Київ, 2019. – 21 с.uk
dc.identifier.urihttps://ela.kpi.ua/handle/123456789/29067
dc.language.isoukuk
dc.publisherКПІ ім. Ігоря Сікорськогоuk
dc.publisher.placeКиївuk
dc.subjectгiльбертiв простiрuk
dc.subjectрiманiв многовидuk
dc.subjectборелiвська мiраuk
dc.subjectдиференцiювання мiрuk
dc.subjectоператор Лапласаuk
dc.subjectзадача Дiрiхлеuk
dc.subjectHilbert spaceuk
dc.subjectRiemannian manifolduk
dc.subjectBorel measureuk
dc.subjectdifferentiation of measuresuk
dc.subjectLaplace operatoruk
dc.subjectDirichlet problemuk
dc.subjectгильбертово пространствоuk
dc.subjectриманово многообразиеuk
dc.subjectборелевская мераuk
dc.subjectдифференцирование мерuk
dc.subjectоператор Лапласаuk
dc.subjectзадача Дирихлеuk
dc.subject.udc517.98+517.954uk
dc.titleКрайовi задачi на нескiнченновимiрних многовидахuk
dc.typeThesisuk

Файли

Контейнер файлів
Зараз показуємо 1 - 1 з 1
Ескіз
Назва:
Potapenko_aref.pdf
Розмір:
334.84 KB
Формат:
Adobe Portable Document Format
Опис:
Завантажити
Ліцензійна угода
Зараз показуємо 1 - 1 з 1
Ескіз недоступний
Назва:
license.txt
Розмір:
8.98 KB
Формат:
Item-specific license agreed upon to submission
Опис:
Завантажити

Зібрання

Автореферати (ММСА)
Автореферати (вільний доступ)