Швидкість збіжності для точної асимптотики рядів великих ухилень

Скорочена інформація про документ
dc.contributor.authorГрегуль, Юлія Олександрівна
dc.contributor.authorGregul, Y. O.
dc.contributor.authorГрегуль, Ю. А.
dc.date.accessioned2016-10-23T11:00:58Z
dc.date.available2016-10-23T11:00:58Z
dc.date.issued2015
dc.description.abstractenBackground. In the paper the sequence of independent identically distributed random variables {Xk, k ≥ 1} is considered. We are interested in conditions for the convergence of series ∑n=1∞ nαP(|Sn| ≥ n1/pε) for different values of parameters α ≥ −1, 0 < p < 2 and any ε > 0. Such series appears while studying complete convergence as well as investigating various problems on large deviations in limit theorems of probability theory. The new approach to study such series is proposed by C. Heyde, who showed that if EX₁ = 0, EX₁² = σ² < ∞ then lim ε↓0 ε²∑n=1∞ P(|Sn| ≥ nε) = σ². Further, this result was extended by O. Klesov, and finally generalized by A. Gut, J. Steinebach and J. Hi for the series λr,p(ε) = ∑n=1∞ nr/p−2P(|Sn| ≥ n1/pε) with 0 < p < 2, and r ≥ 2. Objective. We consider the series λ(ε) = ∑n=1∞ P(Sn ≥ nε) for one-side deviations. The main purpose of the paper is to study precise asymptotics of function λ(ε) while ε↓0. Methods. The methods used to prove the main result is as follows: first we find the asymptotics λ(ε) for the partial case, i.e. we assume that random variables are Gaussian random variables, further we extend obtained result to the general case by means of estimations of rate of convergence in the Central limit theorem. Results. In the paper the precise asymptotics of series λ(ε) while ε↓0 for 0 < α < 1/2 is obtained. Strict assumptions imposed on parameter α are connected with the application of Nagaev inequality on the rate of convergence in the Central limit theorem. Conclusions. The asymptotics λ(ε) ought to be considered for other values of α as well. This requires though new techniques since the use of Nagaev inequality leads to some restrictions upon α. Since series λ(ε) converges (under some moment conditions) for any α > −1 then further investigations may concern the behavior of this series for −1 ≤ α < 0 and α > 1/2.uk
dc.description.abstractruПроблематика. Рассматривается последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин {Xk, k ≥ 1}. Нас интересуют условия сходимости ряда ∑n=1∞ nαP(|Sn| ≥ n1/pε) для разных значений параметров α ≥ −1 и 0 < p < 2 и произвольного ε > 0. Такие ряды возникают при изучении полной сходимости и исследовании различных вопросов, касающихся больших уклонений в предельных теоремах теории вероятностей. Новое направление исследований таких рядов принадлежит К. Хейди, который показал, что если EX₁ = 0, EX₁² = σ² < ∞ то lim ε↓0 ε²∑n=1∞ P(|Sn| ≥ nε) = σ². О. Клесов усилил результат К. Хейди, а результаты Клесова были обобщены А. Гутом, Дж. Штайнебахом и Дж. Хи для ряда λr,p(ε) = ∑n=1∞ nr/p−2P(|Sn| ≥ n1/pε) если 0 < p < 2, and r ≥ 2. Цель исследования. Рассмотрим ряд для односторонних уклонений λ(ε) = ∑n=1∞ P(Sn ≥ nε). Целью работи является нахождение точной ассимптотики функции λ(ε) при ε↓0. Методика реализации. Метод доказательства заключается в следующем: сначала находится ассимптотика для частичного случая гауссовских случайных величин, а потом он переносится на общий при помощи оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме. Результаты исследования. В работе получена точная ассимптотика ряда λ(ε) при ε↓0 для 0 < α < 1/2. Эти ограничения возникают из-за применения неравенства Нагаева, которое описывает скорость сходимости в центральной предельной теореме. Выводы. Ассимптотику λ(ε) необходимо рассматривать и для других значений α, но это требует новых методов, поскольку использование неравенства Нагаева и приводит к ограничениям для α. Так как ряд λ(ε) (при определенных моментных условиях) для произвольного α > −1, то дальнейшие исследования будут касаться поведения ряда для −1 ≤ α < 0 и α > 1/2.uk
dc.description.abstractukПроблематика. Розглядається послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин {Xk, k ≥ 1}. Нас цікавлять умови збіжності ряду ∑n=1∞ nαP(|Sn| ≥ n1/pε) для різних значень параметрів α ≥ −1 і 0 < p < 2 при довільному ε > 0. Такі ряди виникають при вивченні повної збіжності та дослідженні різноманітних питань стосовно великих ухилень у граничних теоремах теорії ймовірностей. Новий напрям досліджень таких рядів належить К. Хейді, який показав, що при виконанні умов EX₁ = 0, EX₁² = σ² < ∞ має місце властивість lim ε↓0 ε²∑n=1∞ P(|Sn| ≥ nε) = σ². О. Клесов посилив результат К. Хейді, а результати О. Клесова були узагальнені А. Гутом, Дж. Штайнебахом та Дж. Хі для ряду λr,p(ε) = ∑n=1∞ nr/p−2P(|Sn| ≥ n1/pε), якщо 0 < p < 2, r ≥ 2. Мета дослідження. Розглянемо ряд для односторонніх ухилень λ(ε) = ∑n=1∞ P(Sn ≥ nε). Метою роботи є знаходження точної асимптотики функції λ(ε) при ε↓0. Методика реалізації. Метод доведення полягає у тому, що спочатку знаходиться асимптотика для часткового випадку гауссових випадкових величин, а потім він переноситься на загальний за допомогою оцінки швидкості збіжності у центральній граничній теоремі. Результати дослідження. В роботі отримано точну асимптотику ряду λ(ε) при ε↓0 для 0 < α < 1/2. Ці обмеження виникають через застосування нерівності Нагаєва, яка описує швидкість збіжності у центральній граничній теоремі. Висновки. Асимптотику λ(ε) необхідно розглядати і для інших значень α, але це потребує нових методів, оскільки використання нерівності Нагаєва і призводить до обмежень на α. Оскільки ряд λ(ε) збігається (за певних моментних умов) для будь-якого α > −1, то подальші дослідження будуть стосуватись поведінки ряду −1 ≤ α < 0 та α > 1/2.uk
dc.description.sponsorshipРоботу підтримано грантом IZ73Z0_152292 від CNRS (науковий фонд Швейцарії)uk
dc.format.pagerangeС. 26-33uk
dc.identifier.citationГрегуль Ю. О. Швидкість збіжності для точної асимптотики рядів великих ухилень / Ю. О. Грегуль // Наукові вісті НТУУ «КПІ» : науково-технічний журнал. – 2015. – № 4(102). – С. 26–33. – Бібліогр.: 10 назв.uk
dc.identifier.urihttps://ela.kpi.ua/handle/123456789/17797
dc.language.isoukuk
dc.publisherНТУУ «КПІ»uk
dc.publisher.placeКиївuk
dc.source.nameНаукові вісті НТУУ «КПІ»: науково-технічний журналuk
dc.status.pubpublisheduk
dc.subjectТочна асимптотикаuk
dc.subjectШвидкість збіжностіuk
dc.subjectРяд великих ухиленьuk
dc.subjectPrecise asymptoticsen
dc.subjectConvergence rateen
dc.subjectSeries of large deviationsen
dc.subjectТочная ассимптотикаru
dc.subjectСкорость сходимостиru
dc.subjectРяд больших уклоненийru
dc.subject.udc519.21uk
dc.titleШвидкість збіжності для точної асимптотики рядів великих ухиленьuk
dc.title.alternativeThe Convergence Rate in Precise Asymptotics for Series of Large Deviationsuk
dc.title.alternativeСкорость сходимости точной ассимптотики для рядов больших уклоненийuk
dc.typeArticleuk
thesis.degree.level-uk

Файли

Контейнер файлів
Зараз показуємо 1 - 1 з 1
Ескіз
Назва:
NV2015-4_4Gregul.pdf
Розмір:
270.88 KB
Формат:
Adobe Portable Document Format
Завантажити
Ліцензійна угода
Зараз показуємо 1 - 1 з 1
Ескіз недоступний
Назва:
license.txt
Розмір:
7.71 KB
Формат:
Item-specific license agreed upon to submission
Опис:
Завантажити

Зібрання

Наукові вісті НТУУ «КПІ»: науково-технічний журнал, № 4(102)