Метод базових та згладжувальних рішень для аналізу статичної деформації геометрично­нелінійних одновимірних систем

Мазурик, Роман Володимирович

Метод базових та згладжувальних рішень для аналізу статичної деформації геометричнонелінійних одновимірних систем

dc.contributor.advisor	Ориняк, Ігор Володимирович
dc.contributor.author	Мазурик, Роман Володимирович
dc.date.accessioned	2024-06-03T13:07:18Z
dc.date.available	2024-06-03T13:07:18Z
dc.date.issued	2024
dc.description.abstract	Мазурик Р.В. Метод базових та згладжувальних рішень для аналізу статичної деформації геометричнонелінійних одновимірних систем. ― Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 Прикладна математика. ― Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського», Київ, 2024. Метою роботи є створення новітньої методології, алгоритмів і програм розрахунку просторових геометрично нелінійних одновимірних систем на основі розривного базового, БР, і згладжувального, ЗР, рішень, де базове рішення є відносно простою круговою чи хеліксною геометрією з відповідно «вбудованою» системою базових сил, що максимально враховує геометричну нелінійність задачі та задає криволінійну систему координат для отримання аналітичного ЗР; а ЗР, в свою чергу, коректує БР за допомогою спеціальної ітераційної процедури уточнень. Інженерні розрахунки машин та конструкцій традиційно виконується в геометрично лінійній постановці, де вважається що деформаційні переміщення і зміна форми тіла є незначними і не впливають на розрахункову схему. Впровадження в різних галузях промисловості більш гнучких композитних матеріалів (наприклад, в літакобудуванні), зафіксовані в сучасних нормативних документах вимоги щодо покращання точності аналізу (трубопровідна індустрія, підйомнотранспортні машини) з врахуванням великих деформаційних переміщень – роблять актуальними створення методів аналізу в геометричнонелінійній, ГН, постановці. Більше того, сучасна тенденція розширення сфери застосування проектних розрахунків на гнучкі медичні прибори (ендоскопи), розбірні будівельні конструкції (палатки, манежи), спортивне спорядження (шести, ракетки), вантові конструкції спонукає до створення методів і програм розрахунку, що враховують зміну форми тіла в процесі навантаження. Застосування ГН аналізу гнучких довгих тіл є актуальним при геометричному моделюванні (побудова апроксимаційних і інтерполяційних сплайнів) траєкторій і зображень, а також в кіноіндустрії, де вимога правдоподібності згенерованих комп’ютером процесів деформування та руху приводить до все ширшого застосування алгоритмів, що основані на фізично обґрунтованих моделях, тобто є рішеннями диференційних рівнянь деформації балок чи канатів. Як не дивно, сучасні комерційні програми, при всій своїй досконалості, часу і традиціям розвитку, науковому забезпеченні, зручності застосування та представлення вхідних і вихідних даних все ще не здатні вирішувати подібні задачі. Це пов’язано як з недоліками аналітичних розрахункових елементів, що застосовуються для моделювання властивостей фізичних тіл, так і з організацією ітераційних процесів. Власне, з цим і пов'язаний широкий потік наукових розробок в літературі, які, проте, мають вузьке застосування та недостатнє підтвердження чисельними та експериментальними тестами. До недоліків існуючих методів віднесемо наступне. Перше, майже всі вони базуються на принципах мінімізації енергії для заздалегідь вибраних степенях свободи в деяких точках і апроксимуючих функцій для всіх інших проміжних точок. Очевидно, є сумнівним те, чи можуть такі штучно сконструйовані функції моделювати всі диференційні залежності між фізичними і геометричними параметрами задач. Друге, для нелінійних задач необхідно проводити лінеаризацію, щоб отримати систему лінійних рівнянь. Оскільки всі існуючі методи будують неперервні ітераційні наближення, що мало відрізняються від попереднього і це приводить до дуже довгих обчислень (сотні ітерацій) чи до рішення задач де ГН має обмежений вплив на результати (декілька десятків процентів); окрім того вони вимагають точного початкового положення, наприклад для нульових зовнішніх дій, і це значно ускладнює задачу, коли початкове положення тіла невідоме. Третє, існують дві ГН математичні моделі довгих гнучких тіл – балка і канат, причому відомо, що сильно розтягнута балка отримує властивості канату. Проте в літературі не вказуються межі їх окремого застосування, не описуються комбіновані методи, коли на деяких ділянках може застосовуватися менш трудомістка модель каната (наприклад внутрішні ділянки), а модель балки на границях тіла, чи в зонах контакту з іншими тілами. Таким чином, важливим є створення методів чисельного аналізу ГН одновимірних задач, які базувались би на точних аналітичних рішеннях моделей канату та простої, розтягнутої, і стисненої криволінійної балки для елементарних базових ділянок; та розробка ефективного алгоритму уточнень, що дозволяв би незалежне уточнення положення кожної базової ділянки (геометрії) на заданій ітерації з наступним його згладжуванням за допомогою ЗР, що значно прискорить процес уточнень і зробить його незалежним від правильного вибору початкового положення. В першому розділі проведено аналіз актуальності задачі деформації в довгих гнучких тілах, існуючі рішення та зроблена постановка задачі досліджень. Показано широку сферу застосування даної задачі в різних сферах проектування конструкцій і пристроїв. Також розглянуто як з часом розвивалися методи розрахунку балок і канатів, зокрема метод скінченних елементів та метод початкових параметрів. Досліджено історію балкових сплайнів, їх формулювання і недоліки а також кількісне поняття естетичної міри кривої. Для геометрично нелінійних балок розглянуто існуючі рішення для поперечно навантажених довгих гнучких систем, що мають властивості як канату так і балки. Для просторових балкових систем розглянуто різні підходи до моделювання просторових систем, зокрема з допомогою хеліксного елемента, а також детально проаналізована популярна коротаційна постановка для визначальних рівнянь. Сформульовані задачі досліджень. Другий розділ присвячено моделюванню плоских та просторових розгалужених канатних систем. В ньому розглянуто адаптацію методу стрільби та методу абсолютних координат для канатів під дією зосереджених сил та приклади їх обчислень. Показано, що популярний метод стрільби не забезпечує збіжності результатів і не може бути основою побудови розрахункових алгоритмів. Представлено метод базових та згладжувальних рішень для канатних систем який є стійким при довільних значеннях сил, початкових довжин і характеристик видовження канату. Основу методу складає нове аналітичне рішення для канатного елемента, як відхилення від кругової геометрії. Продемонстровано ефективність цього методу на широко відомих в літературі прикладах (гнучкий райзер, просторова система) та розгалужених системах з різним натягом елементів системи. Усі розглянуті плоскі та просторові приклади демонструють ідеальну збіжність процедури незалежно від обраної початкової позиції та потребують на порядок менше розрахункових елементів, ніж це вимагають інші моделі. Третій розділ присвячено створенню принципово нової методології розрахунку геометрично нелінійних, ГН, балок, що представляє собою суму криволінійного розривного базового рішення, БР, та згладжувального рішення, яке будується в криволінійних координатах БР. Методологія має деякі особливості коротаційного ГН підходу, проте містить принципово нові ідеї і результати. Вперше в літературі запропоновано ефективну комбіновану схему застосування балкових і канатних елементів, коли в зоні опор, контактів, дій зосереджених сил застосовуються балкові елементи, а на всіх інших ділянках – канатні. Проведено порівняльний аналіз застосування для задач геометричного моделювання (побудова сплайнів) трьох різних методів: коротаційний балковий сплайн, КБС, сплайни Безьє, BZ, та ГН балка, ГНБ. Показано, що BZ значно поступається по якості перед двома іншими, і дає значні локальні піки кривизн, і вимагає подальшого уточнення чи оптимізації. КБС для всіх розглянутих задач показав хороші результати. Четвертий розділ узагальнює методологію базового та згладжувального рішень на тривимірний випадок. Розглядаються задачі спрощеного рівня, які втім і аналізуються в основному в літературі, для яких, власне, можна отримати прийнятний результат і без згладжувального рішення. Порівняння з відомими задачами показують, що навіть самого базового рішення достатньо для точного наближення рішення невеликою кількістю елементів, зазвичай на порядки нижче, ніж це вимагається в лінійних моделях. Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному: В додаток до відомого класичного рішення для ланцюгової лінії (catenary), що є основою всіх точних алгоритмів, для розрахунків канату отримано альтернативне точне (на ділянці) рішення, що представляє собою суму частинки кола та ЗР, що є рішенням диференційних рівнянь четвертого порядку; і яке, на відміну від ланцюгової лінії, дозволяє точно враховувати довільне видовження канату, тобто розглядати досить еластичні канати. Рішення отримано в вигляді зручному для застосування методу початкових параметрів, МПП (transfer matrix method). Для попередньо розтягнутої (стисненої) ділянки кола під дією розподілених дотичних і нормальних навантажень вперше отримані точні аналітичні рішення диференційних рівнянь 6-го порядку в вигляді зручному для застосування МПП. Для забезпечення комп’ютерної збіжності формул для ділянок, що є майже прямими (кут дуги кола не перевищує 1°), вперше отримані розклади цих рішень в ряд Тейлора, і продемонстровано, що експоненціальні («розтягнуті») рішення співпадають з тригонометричними («стиснутими») рішеннями при характерному значенні осьової сили. В свою чергу при відсутності «вбитої» осьової сили лінійне рішення співпадає з тригонометричним. Це забезпечує неперервність загального рішення тіла в цілому при довільній історії навантаження і зміні геометрії. Вперше сформульовані критерії для яких комбінацій геометричних, фізичних і механічних параметрів задане довге тіло можна розглядати як канат чи як балку, та отримані деякі конкретні рішення. Вперше запропонована методика і умови комбінованого спряження канату та балки. Продемонстровані переваги такого підходу, коли внутрішня частина тіла моделюється як канат, а біля границь використовується модель балки. Вперше запропоновано базове рішення для трьохвимірного елемента як ділянки хелікса, і всі геометричні параметри якого (базисні вектори, відносні положення точок) однозначно зв’язані з системою базисних глобальних моментів та характеристиками жорсткості січення. Показано, що для деяких видів закріплення просторової балки наявність такого БР навіть при відсутності ЗР може забезпечити достатню точність ГН деформування. Як основний науковий результат роботи вперше запропоновано метод базових розривних рішень, БР, та згладжувальних рішень, ЗР. Метод є новим варіантом відомого коротаційного підходу, де БР є криволінійною ділянкою (елемент кола чи хелікса) і в цілому враховує ГН деформацію від значних внутрішніх сил та моментів, проте є розривним і не неперервним. ЗР будується в локальних криволінійних координатах, є лінійним і незначним, згладжує БР і забезпечує неперервність всіх параметрів, і слугує для уточнення БР на наступній ітерації. Процедура уточнення є динамічною, і шляхом корекції коефіцієнта уточнення враховує збіжність чи розбіжність результатів на двох послідовних ітераціях. Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що: 1. На прикладі канату, що підданий дії системи зосереджених сил, продемонстровані беззаперечні переваги коротаційних підходів, порівняно з популярним методом стрільби. Коротаційні підходи є стійкими при довільній кількості ділянок, інтенсивності сил, жорсткості січення канату, та його початковій довжині. Що стосується методу стрільби, то він починає розходитися для канатів великої довжини і великій кількості сил. 2. В усіх розглянутих задачах, методах і прикладах застосовується метод початкових параметрів, як найбільш зручний метод організації і алгоритмізації розрахунків. В роботі доповнена його теорія і практика, особливо коли ділянки є розривними і власне рівняння спряження (умови на краях елементів) забезпечують загальну нерозривність методу. 3. Запропоноване комплексне поєднання балкових і канатних елементів, коли біля особливих точок застосовуються канатні, на порядки спрощує розрахунки і при цьому дозволяє находити всі особливості і краєві ефекти. 4. Створений метод розрахунку ГН поведінки не вимагає задання початкової геометрії тіла. Це дуже корисно для проведення діагностичних досліджень конструкцій, початковий стан яких невідомий, а навантажений (деформований) стан задається за допомогою безпосередніх геодезичних вимірювань. 5. Розроблені методи є корисними для проведення сплайнів, коли залаються положення граничних точок, напрямки дотичних в них, та загальна довжина лінії. Тоді отримана запропонованим методом крива є оптимальною серед можливих за критерієм мінімуму енергії, що часто застосовується в геометричному проектуванні. Подібним чином отримані результати можуть застосовуватися для проектування гріпперів (захватів) для роботів та вибору їх довжини та властивостей жорсткості. 6. Приведені значення розрахункових переміщень, сил в табличній формі в вибраних точках можуть слугувати для тестування інших програм та методик, адже на відміну від результатів приведених в літературі, вони отримані для екстремальних значень характеристик жорсткості, великого видовження і значної зміни форми. 7. Нова методологія розрахунку ГН поведінки довгих елементів з використанням розривного БР та ЗР відкриває нові перспективи до створення розрахункових методів взагалі, і може мати потужний вплив на створення новітніх розрахункових комплексів.
dc.description.abstractother	Mazuryk R.V. Method of basic and smoothing solutions for the analysis of static deformation of geometrically nonlinear onedimensional systems. Qualifying scientific work on the rights of the manuscript. Dissertation for the degree of Doctor of Philosophy in specialty 113 Applied Mathematics National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute", Kyiv, 2024. The aim of the work is to create a new methodology, algorithms and programs for calculating spatial geometrically nonlinear onedimensional systems based on the basic discontinuous, BS, and smoothing, SS, solutions, where the basic solution has a relatively simple circular or helix geometry with a corresponding "builtin" system of basic forces that takes into account the geometric nonlinearity of the problem to the maximum extent possible and sets a curvilinear coordinate system to obtain the analytical SS; and the SS, in turn, corrects the BS using a special iterative refinement procedure. Engineering calculations of machines and structures are traditionally performed in a geometrically linear formulation, where it is assumed that deformation displacements and changes in the shape of the body are insignificant and do not affect the design scheme. The introduction of more flexible composite materials in various industries (e.g., aircraft construction), requirements for improving the accuracy of analysis (pipeline industry, lifting and ransporting machines and equipment), considering large deformation displacements, it makes relevant to develop analysis methods in the geometrically nonlinear (GN) formulation. Moreover, the current trend of expanding the scope of design calculations to flexible medical devices (endoscopes), actively bent structures (tents, playgrounds), sports equipment (paddles, rackets), and cable structures encourages the creation of calculation methods and programs that take into account changes in body shape under stress. The application of GN analysis of flexible long bodies is relevant in geometric modeling (construction of approximation and interpolation splines) of trajectories and images, as well as in the film industry, where the requirement of plausibility of computergenerated deformation and motion processes leads to the increasing use of algorithms based on physically based models, i.e., solutions of differential equations of deformation of beams or cables. Surprisingly, modern commercial programs, despite all their sophistication, time and traditions of development, scientific support, ease of use and presentation of input and output data, are still unable to solve such problems. This is due to both the shortcomings of the analytical computational elements used to model the properties of physical bodies and the organization of iterative processes. In fact, this is the reason for the wide flow of scientific developments in the literature, which, however, have a narrow application and insufficient confirmation by numerical and experimental tests. The disadvantages of existing methods include the following. First, almost all of them are based on the principles of energy minimization for preselected degrees of freedom at some points and approximating functions for all other intermediate points. Obviously, it is questionable whether such artificially constructed functions can model all the differential dependencies between the physical and geometric parameters of the problems. Second, for nonlinear problems, it is necessary to perform linearization to obtain a system of linear equations. Since all existing methods performs continuous iterative approximations that differ little from the previous one, this leads to very long computations (hundreds of iterations) or to solving problems where the GN has a limited influence on the results (several tens of percent); in addition, they require an exact initial position, for example, for zero external actions, and this greatly complicates the problem when the initial position of the body is unknown. Thirdly, there are two GN mathematical models of long flexible bodies a beam and a cable, and it is known that a highly stretched beam acquires the properties of a cable. However, the literature does not indicate the limits of their separate application, nor does it describe combined methods, when the less laborintensive cable model can be used in some areas (e.g., internal areas), and the beam model can be used at the boundaries of the body or in areas of contact with other bodies. Thus, it is important to develop methods for numerical analysis of the GN onedimensional problems based on accurate analytical solutions of cable models and simple, stretched, and compressed curved beams for elementary basic sections; development of an efficient refinement algorithm that would allow independent refinement of the position of each basic section (geometry) at a given iteration with its subsequent smoothing using SS, which would significantly speed up the refinement process and make it independent of the correct choice of the initial position. The first section analyzes the relevance of the problem of deformation in long flexible bodies, existing solutions, and formulates the research problem. The wide scope of application of this problem in various areas of designing structures and devices is shown. It is also considered how the methods of calculation of beams and cables have evolved over time, in particular the finite element method and the method of initial parameters. The history of beam splines, their formulations and shortcomings, as well as the quantitative concept of the aesthetic measure of a curve are investigated. For geometrically nonlinear beams, the existing solutions for transversely loaded long flexible systems with both cable and beam properties are considered. The second chapter is devoted to modeling of plane and spatial branched cable systems. It considers the adaptation of the firing method and the method of absolute coordinates for cables under the action of concentrated forces and examples of their calculations. It is shown that the popular firing method does not provide convergence of results and cannot be the basis for the construction of computational algorithms. The method of basic and smoothing solutions for cable systems is presented, which is stable at arbitrary values of forces, initial lengths, and cable elongation characteristics. The method is based on a new analytical solution for a cable element as a deviation from circular geometry. The effectiveness of this method is demonstrated on examples widely known in the literature (flexible riser, spatial system) and branched systems with different tensions of the system elements. All the considered plane and spatial examples demonstrate perfect convergence of the procedure regardless of the chosen initial position and require an order of magnitude less computational elements than other models. The third chapter is devoted to the development of a fundamentally new methodology for the calculation of geometrically nonlinear (GN) beams, which is the sum of a curvilinear discontinuous basic solution (BS) and a smoothing solution constructed in the curvilinear coordinates of the BS. The methodology has some features of the shortening GN approach, but contains fundamentally new ideas and results. For the first time in the literature, an effective combined scheme for the use of beam and cable elements is proposed, when beam elements are used in the zone of supports, contacts, and actions of concentrated forces, and cable elements are used in all other areas. A comparative analysis of the use of three different methods for geometric modeling (spline construction) is carried out: the shortening beam spline, CBS, the Bezier splines, BZ, and the GN beam, GNB. It is shown that BZ is significantly inferior in quality to the other two, and gives significant local curvature peaks, and requires further refinement or optimization. The CBS for all considered problems showed good results. The fourth section generalizes the methodology of the basic and smoothing solutions to the threedimensional case. We consider problems of a simplified level, which are analyzed mainly in the literature, and for which, in fact, it is possible to obtain an acceptable result without a smoothing solution. Comparisons with wellknown problems show that even a single basic method is sufficient to accurately approximate the solution with a small number of elements, usually tens of times lower than required in linear models. The scientific novelty of the results is as follows: In addition to the wellknown classical catenary solution, which is the basis of all exact algorithms, an alternative exact (on the section) solution was obtained for cable calculations, which is the sum of the circular part and the SS, which is a solution of fourthorder differential equations; and which, unlike the catenary solution, allows to accurately take into account the arbitrary elongation of the cable, i.e., to consider essentially elongated cables. The solution is obtained in the form of an easytouse transfer matrix method, TMM. For a prestretched (compressed) section of a circle under the action of distributed tangential and normal loads, the exact analytical solutions of the 6th order differential equations are first obtained in the form convenient for application of TMM. To ensure the computer convergence of the formulas for sections that are almost straight (the arc angle of the circle does not exceed 1°), the expansions of these solutions in the Taylor series are obtained for the first time, and it is demonstrated that the exponential ("stretched") solutions coincide with the trigonometric ("compressed") solutions at a characteristic value of the axial force. In turn, in the absence of a predefined axial force, the linear solution coincides with the trigonometric solution. This ensures the continuity of the overall solution of the body as a whole under an arbitrary load history and geometry changes. The criteria for which combinations of geometric, physical, and mechanical parameters can be used to treat a given long body as a cable or a beam are formulated for the first time, and some specific solutions are obtained. For the first time, a methodology and conditions for the combined conjugation of a cable and a beam are proposed. The advantages of this approach, when the inner part of the body is modeled as a cable and the beam model is used at the boundaries, are demonstrated. For the first time, a basic solution for a threedimensional element as a section of a helix is proposed, and all geometric parameters (basis vectors, relative positions of points) are uniquely related to the system of basic global moments and stiffness properties of the section. It is shown that for some types of spatial beam anchoring, the presence of such a BS, even in the absence of a SS, can provide sufficient accuracy of the deformation GN. As the main scientific result of the work, the method of basic discontinuous solutions, BS, and smoothing solutions, SS, is proposed for the first time. The method is a new variant of the wellknown corotational formulation, where the BS is a curved section (circle or helix element) and generally takes into account the GN deformation due to significant internal forces and moments, but is discontinuous and not aligned. The SS is constructed in local curvilinear coordinates, is linear and insignificant, smooths the BS and ensures the continuity of all parameters, and serves to refine the BS at the next iteration. The refinement procedure is dynamic; and by adjusting the refinement coefficient, it takes into account the convergence or divergence of results at two consecutive iterations. The practical significance of the results obtained is as follows: 1. On the example of a cable subjected to a system of concentrated forces, the undeniable advantages of corotational approaches have been demonstrated in comparison with the popular method of shooting. Corotational approaches are stable for an arbitrary number of sections, force intensity, cable crosssectional stiffness, and initial length. As for the shooting method, it begins to diverge for cables with long length and a large number of forces. 2. In all the considered problems, methods and examples, the transfer matrix method is used as the most convenient method for organizing and algorithmizing calculations. Its theory and practice are supplemented in the work, especially when the sections are discontinuous and the actual conjugation equation (conditions at the edges of the elements) provide the overall continuity of the method. 3. The proposed complex combination of beam and cable elements, when cable elements are used near special places, simplifies calculations by orders of magnitude and at the same time allows finding all the features and edge effects. 4. The developed method for calculating the GN behavior does not require specifying the initial geometry of the body. This is very useful for conducting diagnostic studies of structures whose initial state is unknown, and the stress strain state is retrieved using direct geodetic measurements. 5. The developed methods are useful for splines when the positions of the boundary points, the directions of the tangents in them, and the total length of the line are known. Then the curve obtained by the proposed method is optimal among the possible ones according to the criterion of minimum energy, which is often used in geometric design. Similarly, the results obtained can be used to design grippers for robots and select their length and stiffness properties. 6. The values of calculated displacements and forces given in tabular form at selected points can be used to test other programs and methods, because, unlike the results given in the literature, they were obtained for extreme values of stiffness characteristics, large elongation, and significant shape changes. 7. The new methodology for calculating the GN behavior of long elements using discontinuous BS and SS opens up new prospects for the development of computational methods in general, and can have a powerful impact on the creation of the latest computational complexes.
dc.format.extent	211 с.
dc.identifier.citation	Мазурик, Р. В. Метод базових та згладжувальних рішень для аналізу статичної деформації геометричнонелінійних одновимірних систем : дис. … д-ра філософії : 113 Прикладна математика / Мазурик Роман Володимирович. – Київ, 2024. – 211 с.
dc.identifier.uri	https://ela.kpi.ua/handle/123456789/67033
dc.language.iso	uk
dc.publisher	КПІ ім. Ігоря Сікорського
dc.publisher.place	Київ
dc.subject	канат
dc.subject	балка
dc.subject	метод початкових параметрів
dc.subject	система гнучких елементів
dc.subject	сплайни
dc.subject	метод базових та згладжувальних рішень
dc.subject	хелікс
dc.subject	еластіка
dc.subject	умови спряження
dc.subject	втрата стійкості
dc.subject	cable
dc.subject	beam
dc.subject	method of initial parameters
dc.subject	system of flexible elements
dc.subject	splines
dc.subject	method of basic and smoothing solutions
dc.subject	helix
dc.subject	elasticity
dc.subject	conjugation conditions
dc.subject	loss of stability
dc.subject.udc	004.021/539.371
dc.title	Метод базових та згладжувальних рішень для аналізу статичної деформації геометричнонелінійних одновимірних систем
dc.type	Thesis Doctoral