Математичне та програмне забезпечення системи наближеного розв’язання матричних диференціальних рівнянь в аналітичному вигляді

Скорочена інформація про документ
dc.contributor.advisorЛось, Валерій Миколайович
dc.contributor.authorГерасименко, Владислав Русланович
dc.date.accessioned2024-05-24T08:36:10Z
dc.date.available2024-05-24T08:36:10Z
dc.date.issued2023
dc.description.abstractДисертацію виконано на 102 аркушах, вона містить 2 додатки та перелік посилань на використані джерела з 9 найменувань. У роботі наведено 33 рисунки та 10 таблиць. Актуальність теми. Добре відомо, що диференціальні рівняння, а зокрема системи таких рівнянь, представляють собою надважливий клас задач, які виникають у різних розділах науки та у прикладних задачах багатьох сфер промисловості, у тому числі і військової. Існує велика кількість чисельних та точних методів для розв’язання задач, пов’язаних з диференціальними рівняннями, в тому числі і для знаходження розв’язку задачі Коші для системи з m диференціальних рівнянь. Одним з таких методів є ітеративна процедура Пікара, яка є наближеним методом, тобто таким методом, що надає розв’язок у аналітичному вигляді. На жаль, застосування цього, та інших наближених методів, як правило, обмежується ілюстративними прикладами в рамках курсів чисельних методів, адже його реалізація на практиці, і тим паче на ЕОМ, є значно ускладненою необхідністю багаторазового інтегрування потенційно неполіноміальних функцій, з цієї причини наближені методи, і зокрема метод Пікара, майже ніколи не імплементуються програмно. Саме тому розробка нових та удосконалення існуючих наближених методів для їх застосування на ЕОМ є дуже актуальною проблемою на сьогодні. Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась згідно з планом науково-дослідних робіт кафедри прикладної математики Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського». Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка математичного апарату та програмного забезпечення для наближеного розв’язання матричних диференціальних рівнянь у аналітичному вигляді. Для досягнення вказаної мети було розв’язано такі задачі: - систематизувати існуючі методи розв’язання задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку; - модифікувати метод Пікара послідовних наближень для його застосування на ЕОМ, довести збіжність такої модифікації, оцінити похибку; - спроектувати систему розв’язання матричних диференціальних рівнянь за допомогою даної модифікації на ЕОМ; - здійснити програмну реалізацію розробленої системи, провести її тестування; - провести експериментальні дослідження. Об’єктом дослідження є наближені методи знаходження розв’язку систем звичайних диференціальних рівнянь. Предметом дослідження є алгоритми методів наближеного знаходження розв’язку систем диференціальних рівнянь із заданими початковими умовами у аналітичному вигляді. Методи дослідження. Для розв’язання поставленої задачі використовувалися такі методи: методи дійсного та функціонального аналізу (для розробки модифікації методу Пікара); методи оптимізації (для чисельного знаходження оцінки похибки); методи теорії алгоритмів та програмування (для програмної реалізації розроблених алгоритмів); методи теорії диференціальних рівнянь (для розробки математичного апарату та для проведення експериментів). Наукова новизна одержаних результатів складається з таких положень: - уперше представлено модифікацію методу Пікара та доведено її збіжність, яка, на відміну від існуючих, передбачає заміну підінтегральних функцій першими членами їх рядів Тейлора, що дає змогу спростити обчислення і реалізувати програмно цей метод на ЕОМ; - удосконалено програмну реалізацію методу Пікара, яка, на відміну від існуючих, опирається на інтегрування виключно поліномів з натуральними степенями, що дає змогу реалізувати цей метод без необхідності імплементації алгоритмів символьного інтегрування чи диференціювання, адже інтегрування поліномів є, відносно, простою операцією; - удосконалено процедуру оцінки похибки для методу Пікара, яка відрізняються від існуючих тим, що вона опирається на чисельні методи оптимізації, що дає можливість застосовувати емпіричні методи оптимізації, які є алгоритмічно простими. Практичне значення одержаних результатів. На основі запропонованої модифікації методу Пікара, побудовано веб-застосунок для наближеного розв’язання систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Апробація результатів дисертації. Основні положення й результати роботи представлено та опубліковано на конференції ПМК 2022. Публікації. - Лось В.М., Герасименко В.Р., Копичко С.М. (2022). Модифікований метод ітерацій для систем диференціальних рівнянь. ПМК-2022.
dc.description.abstractotherThe thesis is presented in 102 pages. It contains 2 appendixes and bibliography of 9 references. 33 figures and 10 tables are given in the thesis. Topic relevance. It is well known that differential equations, and in particular systems of such equations, represent an extremely important class of problems that arise in various branches of science and in applied problems of many industries, including the military. There are a large number of numerical and accurate methods for solving problems involving differential equations, including finding a solution to the Cauchy problem for a system of m differential equations. One of these methods is the Picard iterative procedure, which is an approximate method, i.e. a method that provides a solution in analytical form. Unfortunately, the use of this and other approximate methods is usually limited to illustrative examples in numerical methods courses, because its implementation in practice, and even more so on a computer, is significantly complicated by the need to repeatedly integrate potentially non-polynomial functions, for this reason approximate methods, and in particular the Picard method, are almost never implemented in software. That is why the development of new and improvement of existing approximate methods for their application on computers is a very urgent problem today. Thesis connection to scientific programs, plans, and topics. The thesis was prepared according to the scientific research plan of the Applied Mathematics Department of the National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute.” Research goal and objectives. The goal of this thesis is to develop a mathematical apparatus and software for the approximate solution of matrix differential equations in analytical form. To accomplish this goal, the following objectives were reached: - systematise existing methods for solving the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations of the first order; - modify the Picard’s method of successive approximations for its application on a computer, prove the convergence of such a modification, and estimate the error; - design a system for solving matrix differential equations using this modification on a computer; - to implement the software implementation of the developed system, to test the system. - to conduct experimental research with systems of differential equations. Object of research is approximate methods for finding solutions to systems of ordinary differential equations. Subject of research is the algorithms of methods for approximate solution of systems of differential equations with given initial conditions in analytical form. Methods of research. To solve the task, the following methods were used: methods of real and functional analysis (to develop a modification of Picard's method); optimisation methods (to numerically find the error estimate); methods of algorithm theory and programming (for software implementation of the developed algorithms); methods of differential equations theory (to develop mathematical software and to conduct experiments). Scientific contribution consists of the following: - for the first time presented a modification of Picard's method and proved its convergence, which, unlike the existing ones, involves the replacement of subintegral functions, which allows to implement this method on a computer; - improved software implementation of the Picard method, which, unlike the existing ones, is based on the integration of polynomials with natural degrees only, which makes it possible to implement this method without the need to implement symbolic integration or differentiation algorithms, since the integration of polynomials is a relatively simple operation; - improved the error estimation procedure for the Picard method, which differs from the existing ones in that it is based on numerical optimisation methods, which makes it possible to apply empirical optimisation methods that are algorithmically very simple. Practical value of obtained results. On the basis of the proposed modification of Picard's method, a web application for the approximate solution of systems of ordinary differential equations of the first order is built. Approbation of the thesis results. Basic ideas and results of the research were presented at the 2022 PMK conference. Publications. - Los Valeriy, Herasimenko Vladyslav, Kopychko Sergei (2022). A modified iteration method for systems of differential equations. PMK-2022.
dc.format.extent132 с.
dc.identifier.citationГерасименко, В. Р. Математичне та програмне забезпечення системи наближеного розв’язання матричних диференціальних рівнянь в аналітичному вигляді : магістерська дис. : 113 Прикладна математика / Герасименко Владислав Русланович. – Київ, 2023. – 132 с.
dc.identifier.urihttps://ela.kpi.ua/handle/123456789/66893
dc.language.isouk
dc.publisherКПІ ім. Ігоря Сікорського
dc.publisher.placeКиїв
dc.subjectзадача Коші
dc.subjectдиференціальні рівняння
dc.subjectтеорема Банаха
dc.subjectпринцип стискаючих відображень
dc.subjectсимвольне інтегрування
dc.subjectсистема диференціальних рівнянь
dc.subjectметод Пікара
dc.subjectметод Рунге-Кутта
dc.subjectряд Тейлора
dc.subject.udc519.622.2:004.42:004.021
dc.titleМатематичне та програмне забезпечення системи наближеного розв’язання матричних диференціальних рівнянь в аналітичному вигляді
dc.typeMaster Thesis

Файли

Контейнер файлів
Зараз показуємо 1 - 1 з 1
Ескіз
Назва:
Herasymenko_magistr.pdf
Розмір:
4.39 MB
Формат:
Adobe Portable Document Format
Завантажити
Ліцензійна угода
Зараз показуємо 1 - 1 з 1
Ескіз недоступний
Назва:
license.txt
Розмір:
8.98 KB
Формат:
Item-specific license agreed upon to submission
Опис:
Завантажити

Зібрання

Магістерські роботи (ПМА)
Магістерські роботи