Дисертації (ПМА)
Постійне посилання зібрання
У зібранні розміщено дисертації, які захищені працівниками кафедри.
Переглянути
Нові надходження
Документ Відкритий доступ Метод базових та згладжувальних рішень для аналізу статичної деформації геометричнонелінійних одновимірних систем(КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2024) Мазурик, Роман Володимирович; Ориняк, Ігор ВолодимировичМазурик Р.В. Метод базових та згладжувальних рішень для аналізу статичної деформації геометричнонелінійних одновимірних систем. ― Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 Прикладна математика. ― Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського», Київ, 2024. Метою роботи є створення новітньої методології, алгоритмів і програм розрахунку просторових геометрично нелінійних одновимірних систем на основі розривного базового, БР, і згладжувального, ЗР, рішень, де базове рішення є відносно простою круговою чи хеліксною геометрією з відповідно «вбудованою» системою базових сил, що максимально враховує геометричну нелінійність задачі та задає криволінійну систему координат для отримання аналітичного ЗР; а ЗР, в свою чергу, коректує БР за допомогою спеціальної ітераційної процедури уточнень. Інженерні розрахунки машин та конструкцій традиційно виконується в геометрично лінійній постановці, де вважається що деформаційні переміщення і зміна форми тіла є незначними і не впливають на розрахункову схему. Впровадження в різних галузях промисловості більш гнучких композитних матеріалів (наприклад, в літакобудуванні), зафіксовані в сучасних нормативних документах вимоги щодо покращання точності аналізу (трубопровідна індустрія, підйомнотранспортні машини) з врахуванням великих деформаційних переміщень – роблять актуальними створення методів аналізу в геометричнонелінійній, ГН, постановці. Більше того, сучасна тенденція розширення сфери застосування проектних розрахунків на гнучкі медичні прибори (ендоскопи), розбірні будівельні конструкції (палатки, манежи), спортивне спорядження (шести, ракетки), вантові конструкції спонукає до створення методів і програм розрахунку, що враховують зміну форми тіла в процесі навантаження. Застосування ГН аналізу гнучких довгих тіл є актуальним при геометричному моделюванні (побудова апроксимаційних і інтерполяційних сплайнів) траєкторій і зображень, а також в кіноіндустрії, де вимога правдоподібності згенерованих комп’ютером процесів деформування та руху приводить до все ширшого застосування алгоритмів, що основані на фізично обґрунтованих моделях, тобто є рішеннями диференційних рівнянь деформації балок чи канатів. Як не дивно, сучасні комерційні програми, при всій своїй досконалості, часу і традиціям розвитку, науковому забезпеченні, зручності застосування та представлення вхідних і вихідних даних все ще не здатні вирішувати подібні задачі. Це пов’язано як з недоліками аналітичних розрахункових елементів, що застосовуються для моделювання властивостей фізичних тіл, так і з організацією ітераційних процесів. Власне, з цим і пов'язаний широкий потік наукових розробок в літературі, які, проте, мають вузьке застосування та недостатнє підтвердження чисельними та експериментальними тестами. До недоліків існуючих методів віднесемо наступне. Перше, майже всі вони базуються на принципах мінімізації енергії для заздалегідь вибраних степенях свободи в деяких точках і апроксимуючих функцій для всіх інших проміжних точок. Очевидно, є сумнівним те, чи можуть такі штучно сконструйовані функції моделювати всі диференційні залежності між фізичними і геометричними параметрами задач. Друге, для нелінійних задач необхідно проводити лінеаризацію, щоб отримати систему лінійних рівнянь. Оскільки всі існуючі методи будують неперервні ітераційні наближення, що мало відрізняються від попереднього і це приводить до дуже довгих обчислень (сотні ітерацій) чи до рішення задач де ГН має обмежений вплив на результати (декілька десятків процентів); окрім того вони вимагають точного початкового положення, наприклад для нульових зовнішніх дій, і це значно ускладнює задачу, коли початкове положення тіла невідоме. Третє, існують дві ГН математичні моделі довгих гнучких тіл – балка і канат, причому відомо, що сильно розтягнута балка отримує властивості канату. Проте в літературі не вказуються межі їх окремого застосування, не описуються комбіновані методи, коли на деяких ділянках може застосовуватися менш трудомістка модель каната (наприклад внутрішні ділянки), а модель балки на границях тіла, чи в зонах контакту з іншими тілами. Таким чином, важливим є створення методів чисельного аналізу ГН одновимірних задач, які базувались би на точних аналітичних рішеннях моделей канату та простої, розтягнутої, і стисненої криволінійної балки для елементарних базових ділянок; та розробка ефективного алгоритму уточнень, що дозволяв би незалежне уточнення положення кожної базової ділянки (геометрії) на заданій ітерації з наступним його згладжуванням за допомогою ЗР, що значно прискорить процес уточнень і зробить його незалежним від правильного вибору початкового положення. В першому розділі проведено аналіз актуальності задачі деформації в довгих гнучких тілах, існуючі рішення та зроблена постановка задачі досліджень. Показано широку сферу застосування даної задачі в різних сферах проектування конструкцій і пристроїв. Також розглянуто як з часом розвивалися методи розрахунку балок і канатів, зокрема метод скінченних елементів та метод початкових параметрів. Досліджено історію балкових сплайнів, їх формулювання і недоліки а також кількісне поняття естетичної міри кривої. Для геометрично нелінійних балок розглянуто існуючі рішення для поперечно навантажених довгих гнучких систем, що мають властивості як канату так і балки. Для просторових балкових систем розглянуто різні підходи до моделювання просторових систем, зокрема з допомогою хеліксного елемента, а також детально проаналізована популярна коротаційна постановка для визначальних рівнянь. Сформульовані задачі досліджень. Другий розділ присвячено моделюванню плоских та просторових розгалужених канатних систем. В ньому розглянуто адаптацію методу стрільби та методу абсолютних координат для канатів під дією зосереджених сил та приклади їх обчислень. Показано, що популярний метод стрільби не забезпечує збіжності результатів і не може бути основою побудови розрахункових алгоритмів. Представлено метод базових та згладжувальних рішень для канатних систем який є стійким при довільних значеннях сил, початкових довжин і характеристик видовження канату. Основу методу складає нове аналітичне рішення для канатного елемента, як відхилення від кругової геометрії. Продемонстровано ефективність цього методу на широко відомих в літературі прикладах (гнучкий райзер, просторова система) та розгалужених системах з різним натягом елементів системи. Усі розглянуті плоскі та просторові приклади демонструють ідеальну збіжність процедури незалежно від обраної початкової позиції та потребують на порядок менше розрахункових елементів, ніж це вимагають інші моделі. Третій розділ присвячено створенню принципово нової методології розрахунку геометрично нелінійних, ГН, балок, що представляє собою суму криволінійного розривного базового рішення, БР, та згладжувального рішення, яке будується в криволінійних координатах БР. Методологія має деякі особливості коротаційного ГН підходу, проте містить принципово нові ідеї і результати. Вперше в літературі запропоновано ефективну комбіновану схему застосування балкових і канатних елементів, коли в зоні опор, контактів, дій зосереджених сил застосовуються балкові елементи, а на всіх інших ділянках – канатні. Проведено порівняльний аналіз застосування для задач геометричного моделювання (побудова сплайнів) трьох різних методів: коротаційний балковий сплайн, КБС, сплайни Безьє, BZ, та ГН балка, ГНБ. Показано, що BZ значно поступається по якості перед двома іншими, і дає значні локальні піки кривизн, і вимагає подальшого уточнення чи оптимізації. КБС для всіх розглянутих задач показав хороші результати. Четвертий розділ узагальнює методологію базового та згладжувального рішень на тривимірний випадок. Розглядаються задачі спрощеного рівня, які втім і аналізуються в основному в літературі, для яких, власне, можна отримати прийнятний результат і без згладжувального рішення. Порівняння з відомими задачами показують, що навіть самого базового рішення достатньо для точного наближення рішення невеликою кількістю елементів, зазвичай на порядки нижче, ніж це вимагається в лінійних моделях. Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному: В додаток до відомого класичного рішення для ланцюгової лінії (catenary), що є основою всіх точних алгоритмів, для розрахунків канату отримано альтернативне точне (на ділянці) рішення, що представляє собою суму частинки кола та ЗР, що є рішенням диференційних рівнянь четвертого порядку; і яке, на відміну від ланцюгової лінії, дозволяє точно враховувати довільне видовження канату, тобто розглядати досить еластичні канати. Рішення отримано в вигляді зручному для застосування методу початкових параметрів, МПП (transfer matrix method). Для попередньо розтягнутої (стисненої) ділянки кола під дією розподілених дотичних і нормальних навантажень вперше отримані точні аналітичні рішення диференційних рівнянь 6-го порядку в вигляді зручному для застосування МПП. Для забезпечення комп’ютерної збіжності формул для ділянок, що є майже прямими (кут дуги кола не перевищує 1°), вперше отримані розклади цих рішень в ряд Тейлора, і продемонстровано, що експоненціальні («розтягнуті») рішення співпадають з тригонометричними («стиснутими») рішеннями при характерному значенні осьової сили. В свою чергу при відсутності «вбитої» осьової сили лінійне рішення співпадає з тригонометричним. Це забезпечує неперервність загального рішення тіла в цілому при довільній історії навантаження і зміні геометрії. Вперше сформульовані критерії для яких комбінацій геометричних, фізичних і механічних параметрів задане довге тіло можна розглядати як канат чи як балку, та отримані деякі конкретні рішення. Вперше запропонована методика і умови комбінованого спряження канату та балки. Продемонстровані переваги такого підходу, коли внутрішня частина тіла моделюється як канат, а біля границь використовується модель балки. Вперше запропоновано базове рішення для трьохвимірного елемента як ділянки хелікса, і всі геометричні параметри якого (базисні вектори, відносні положення точок) однозначно зв’язані з системою базисних глобальних моментів та характеристиками жорсткості січення. Показано, що для деяких видів закріплення просторової балки наявність такого БР навіть при відсутності ЗР може забезпечити достатню точність ГН деформування. Як основний науковий результат роботи вперше запропоновано метод базових розривних рішень, БР, та згладжувальних рішень, ЗР. Метод є новим варіантом відомого коротаційного підходу, де БР є криволінійною ділянкою (елемент кола чи хелікса) і в цілому враховує ГН деформацію від значних внутрішніх сил та моментів, проте є розривним і не неперервним. ЗР будується в локальних криволінійних координатах, є лінійним і незначним, згладжує БР і забезпечує неперервність всіх параметрів, і слугує для уточнення БР на наступній ітерації. Процедура уточнення є динамічною, і шляхом корекції коефіцієнта уточнення враховує збіжність чи розбіжність результатів на двох послідовних ітераціях. Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що: 1. На прикладі канату, що підданий дії системи зосереджених сил, продемонстровані беззаперечні переваги коротаційних підходів, порівняно з популярним методом стрільби. Коротаційні підходи є стійкими при довільній кількості ділянок, інтенсивності сил, жорсткості січення канату, та його початковій довжині. Що стосується методу стрільби, то він починає розходитися для канатів великої довжини і великій кількості сил. 2. В усіх розглянутих задачах, методах і прикладах застосовується метод початкових параметрів, як найбільш зручний метод організації і алгоритмізації розрахунків. В роботі доповнена його теорія і практика, особливо коли ділянки є розривними і власне рівняння спряження (умови на краях елементів) забезпечують загальну нерозривність методу. 3. Запропоноване комплексне поєднання балкових і канатних елементів, коли біля особливих точок застосовуються канатні, на порядки спрощує розрахунки і при цьому дозволяє находити всі особливості і краєві ефекти. 4. Створений метод розрахунку ГН поведінки не вимагає задання початкової геометрії тіла. Це дуже корисно для проведення діагностичних досліджень конструкцій, початковий стан яких невідомий, а навантажений (деформований) стан задається за допомогою безпосередніх геодезичних вимірювань. 5. Розроблені методи є корисними для проведення сплайнів, коли залаються положення граничних точок, напрямки дотичних в них, та загальна довжина лінії. Тоді отримана запропонованим методом крива є оптимальною серед можливих за критерієм мінімуму енергії, що часто застосовується в геометричному проектуванні. Подібним чином отримані результати можуть застосовуватися для проектування гріпперів (захватів) для роботів та вибору їх довжини та властивостей жорсткості. 6. Приведені значення розрахункових переміщень, сил в табличній формі в вибраних точках можуть слугувати для тестування інших програм та методик, адже на відміну від результатів приведених в літературі, вони отримані для екстремальних значень характеристик жорсткості, великого видовження і значної зміни форми. 7. Нова методологія розрахунку ГН поведінки довгих елементів з використанням розривного БР та ЗР відкриває нові перспективи до створення розрахункових методів взагалі, і може мати потужний вплив на створення новітніх розрахункових комплексів.Документ Відкритий доступ Математичні моделі і методи виявлення за публічно доступними даними підозрілих на фіксований результат футбольних матчів(КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2023) Жук, Іван Сергійович; Чертов, Олег РомановичЖук І. С. Математичні моделі і методи виявлення за публічно доступними даними підозрілих на фіксований результат футбольних матчів. ― Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії з галузі знань 11 Математика та Статистика за спеціальністю 113 Прикладна математика. ― Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського», Київ, 2023. Метою роботи є підвищення ефективності виявлення підозрілих на фіксований результат футбольних матчів на базі обробки виключно загальнодоступних публічних даних за результатами сезону футбольного турніру. Однією з найважливіших проблем футболу, що зіставна з проблемою допінгу, є договірні матчі. Результати таких матчів або певний перебіг подій в них є наперед визначеними, тобто фіксованими. У договірних матчах, пов’язаних з виграшом за ставками, завданням є отримання результату, відмінного від очікуваного. Тому такі результати можна розглядати як нетипові, аномальні. Для перевірки поточного матчу на фіксований результат використовують математичні методи футбольної аналітики, такі як: прогнозування результату матчу, аналіз ставок або дій учасників матчу протягом всієї гри. Їх перевагою є оперативність прийняття рішень, а недоліком ― необхідність використання дуже великої кількості даних, які, зазвичай, не є публічно доступними. Альтернативним може розглядатись підхід, коли рішення щодо фіксованості матчу приймається за результатами усього сезону. При цьому загально доступною є публічна інформація щодо результатів проведених ігор усіх команд, що дозволяє формалізувати пошук матчів, підозрілих на фіксований результат як задачу виявлення контекстуальних аномалій. Найбільш адекватними розглянутій задачі виявлення підозрілих на фіксований результат матчів на основі доступної публічної інформації є статистичні непараметричні гістограмні методи. Це обумовлено тим, що вхідні дані характеризуються малою кількістю дискретних числових значень і їх закони розподілу ймовірностей є невідомими. Водночас, ефективність використання цих методів залежить від об’єму вибірки. Разом з цим, перспективним є математичний апарат конформних предикторів та степеневих мартингалів, який не вимагає знання законів розподілу даних, використовує інформацію про міру неконформності даних та може бути використаний для вирішення задач класифікації даних. Тому актуальною науковою задачею є розробка методів виявлення підозрілих на фіксований результат матчів з використанням апарату конформних предикторів і степеневих мартингалів на базі обробки виключно загальнодоступних публічних даних за результатами сезону футбольного турніру. В першому розділі розглянуто проблематику договірних футбольних матчів і обґрунтовано актуальність досліджень, спрямованих на пошук матчів, потенційно підозрілих на фіксованість результату, на базі обробки виключно загальнодоступних публічних даних. Показано, що застосування математичних методів футбольної аналітики, таких як прогнозування результату матчу, аналізу ставок або дій учасників матчу протягом всієї гри щодо виявлення підозрілих на фіксований результат матчів вимагає великої кількості даних, які не завжди доступні для аналізу. Відмічено, що задача виявлення підозрілих щодо фіксованого результату матчів за результатами сезону футбольного турніру відноситься до класу задач виявлення контекстних аномалій, які вирішуються в області інтелектуального аналізу даних. Проведено аналіз статистичних методів, а також методів машинного навчання, які використовуються для виявлення аномалій. Особливу увагу присвячено методам класифікації на основі конформних предикторів, які запропоновано використати для підвищення ефективності виявлення потенційно підозрілих договірних матчів. Сформульовано мету і наукові завдання дисертаційного дослідження. Другий розділ присвячено розробці імітаційної моделі футбольного сезону з матчами з фіксованим результатом. Для визначення контекстуального атрибуту «сила команди» проведено групування команд методами K-середніх та Гаусівських сумішей за ознаками кількість очок та різницею між забитими і пропущеними м’ячами в одновимірному та двовимірному просторах. Визначено початкові дані, обмеження та формули розрахунку ймовірностей забиття голів командами під час гри на основі реальних даних сезону для побудови імітаційної моделі. Розроблено імітаційну модель футбольного сезону та проведено її аналіз шляхом статистичного моделювання. Розроблено алгоритм моделювання договірних матчів, пов’язаних із заробітком на ставках. Третій розділ присвячено розробці методів виявлення підозрілих щодо фіксованості результату футбольних матчів за наявності даних про весь сезон. Запропоновано міри неконформності поточного матчу. На основі аномального конформного детектору розроблено метод виявлення підозрілих щодо фіксованості результату футбольних матчів, в якому прийняття рішень відбувається за пороговим правилом. Проведено порівняльний аналіз методів виявлення матчів, підозрілих на фіксований результат на основі експертно визначеного порогу відхилення і конформного аномального детектору. З використанням степеневого і інтегрального мартингалів розроблено методи виявлення підозрілих щодо фіксованого результату футбольних матчів, в яких прийняття рішення відбувається при зростанні значення степеневого мартингалу для поточного спостереження по відношенню до значення цього ж мартингала для попереднього спостереження. В четвертому розділі шляхом імітаційного моделювання розглянуто аналіз особливостей розроблених методів за даними окремих класів модельного сезону. Проведено порівняльний аналіз розроблених методів та відомого гістограмного методу за даними модельного сезону з використанням метрики точності (precision, P), повноти (recall, R) і міри F1. Запропоновані методи також використано для виявлення матчів, які вважаються договірними, в сезоні 2014–2015 рр. Серії В Італії. Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному: 1. Розроблено новий метод виявлення підозрілих щодо фіксованості результату футбольних матчів, який відрізняється від відомих застосуванням конформного аномального детектора із запропонованою мірою неконформності поточного матчу, що забезпечує можливість визначення порогу прийняття рішення у відповідності до заданого значення апріорної ймовірності появи аномальних даних. 2. Розроблено новий метод виявлення підозрілих щодо фіксованості результату футбольних матчів, який відрізняється від відомих застосуванням степеневого мартингалу і правилом прийняття рішення на основі порівняння поточного значення степеневого мартингалу з попереднім, що дозволяє за рахунок зміни параметра чутливості налаштовувати степеневий мартингал на виявлення аномалій відповідного рівня і знаходити їх. 3. Розроблено новий метод виявлення підозрілих щодо фіксованості результату футбольних матчів, який відрізняється від відомих застосуванням інтегрального мартингалу і правилом прийняття рішення на основі порівняння поточного значення інтегрального мартингалу з попереднім, що дає змогу виявляти аномальні матчі без налаштування параметрів. 4. Доведені нові властивості степеневого мартингалу: - за яких завгодно малих значень ступеня конформності (p-value) поточного спостереження значення степеневого мартингала для поточного спостереження є більшим за значення цього ж мартингала для попереднього спостереження; - збільшення значення степеневого мартингала для поточного спостереження по відношенню до попереднього еквівалентно виконанню правила конформного аномального детектора зі значенням рівня аномальності, який дорівнює n 1 1−n, де n ― параметр чутливості степеневого мартингалу Mk (n) . 5. Отримала подальший розвиток імітаційна модель футбольного сезону, яка на відміну від існуючих враховує розбиття матчів на класи за контекстуальними атрибутами «сила команди» і «тип гри» ― домашня або виїзна, що забезпечує моделювання договірних матчів з фіксованим результатом, які мають аномальний характер. 6. Удосконалено метод кластеризації на основі Гаусівських сумішей в частині регуляризації недіагональних елементів коваріаційних матриць, що дало змогу зменшити чутливість до початкових умов і отримувати кластери еліпсоподібної форми, які враховують неочевидні зв’язки між точками набору даних. Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що: 1. Розроблена імітаційна модель футбольного сезону забезпечує подібність змодельованого сезону з реальним за типами результатів матчів як за всіма класами матчів, так і в цілому на рівні значущості 0,001 за критерієм Колмогорова-Смирнова. 2. Запропоновані методи виявлення на основі конформного аномального детектора, степеневого мартингалу й інтегрального мартингалу на модельних даних забезпечили підвищення ефективності виявлення підозрілих на фіксований результат футбольних матчів у порівнянні з відомим гістограмним методом на 3-13 % за метрикою точності, 11-30% ― за метрикою повноти і 10-18% ― за метрикою F1. 3. Запропоновані методи на основі конформного аномального детектора, степеневого мартингалу й інтегрального мартингалу виявили 4 з 5 матчів сезону 2014–2015 рр. Серії В Італії, які вважаються договірними за інформацією від офіційних правоохоронних органів Італії. Результати роботи впроваджено у навчальний процес кафедри прикладної математики Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського» в рамках нормативної дисципліни «Машинне навчання». Розроблені методи також напряму можуть бути використані для виявлення підозрілих на фіксований результат матчів у змаганнях з інших видів спорту, таких як: хокей, волейбол, бейсбол, баскетбол, кіберспорт тощо. Більше того, за відповідного переформулювання і підбору адекватної міри неконфорності запропоновані в дисертаційному дослідженні методи можуть бути використані для пошуку широкого кола контекстних аномалій (нетипові транзакції по банківському рахунку, проникнення до закритої мережі, аномальна кількість повідомлень в соціальних мережах на певну тематику тощо).Документ Відкритий доступ Мiшанi задачi для параболiчних систем в узагальнених просторах Соболєва(КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2023) Дяченко, Олександр Вiталiйович; Лось, Валерiй МиколайовичДисертацiя присвячена дослiдженню характеру розв’язностi та регулярностi розв’язкiв лiнiйних мiшаних (тобто початково-крайових) задач для параболiчних за Петровським систем диференцiальних рiвнянь другого порядку в шкалах узагальнених гiльбертових анiзотропних просторiв Соболєва. Цi простори дають широке узагальнення анiзотропних версiй класичних гiльбертових просторiв Соболєва, якi зазвичай застосовуються до параболiчних рiвнянь. Розглядаються крайовi умови Дiрiхле та загальнi крайовi умови першого порядку. В анiзотропних просторах Соболєва i Гельдера параболiчнi мiшанi задачi дослiджено у працях М. С. Аграновича, М. I. Вiшика, В. О. Солоннiкова, O. О. Ладиженської, Н. М. Уральцевої, Ж.-Л. Лiонса, Е. Мадженеса, С. Д. Ейдельмана, С. Д. Iвасишена, М. В. Житарашу, Я. А. Ройтберга та iнших математикiв (1962 – 1998). Ними було встановлено низку фундаментальних результатiв про коректну розв’язнiсть (за Адамаром) скалярних i матричних параболiчних початково-крайових задач на вiдповiдних парах вказаних просторiв як додатних, так i вiд’ємних (стосовно просторiв Соболєва) порядкiв. В останнi роки В. М. Лось, В. А. Михайлець i О. О. Мурач (2013 – 2021) розробили теорiю розв’язностi скалярних параболiчних мiшаних задач (для одного диференцiального рiвняння) в узагальнених гiльбертових анiзотропних просторах Соболєва. Регулярнiсть (iнакше кажучи, гладкiсть) приналежних цим просторам розподiлiв задана парою дiйсних чисел i радiальною функцiєю, яка повiльно змiнюється на нескiнченностi та характеризує додаткову регулярнiсть стосовно основної гладкостi, заданої числами. Завдяки функцiональному параметру шкала цих просторiв тонше градуйована, нiж класичнi шкали просторiв Соболєва i Гельдера. Крiм того, вона отримується методом квадратичної iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових анiзотропних просторiв Соболєва, що дозволяє використовувати класичнi результати про характер розв’язностi параболiчних мiшаних задач у соболєвських просторах. Використання узагальнених просторiв Соболєва дозволило встановити новi результати про коректну розв’язнiсть скалярних параболiчних початково-крайових задач i отримати новi тонкi й точнi умови регулярностi розв’язкiв у порiвняннi з класичними результатами. Вiдмiтимо, що рiзнi простори узагальненої гладкостi виявилися корисними в теорiї рiвнянь з частинними похiдними L. Hormander (1983), F. Nicola та L. Rodino (2010), B. Paneah (2000) та теорiї випадкових процесiв N. Jacob (2001, 2002, 2005). Зокрема, монографiя В. А. Михайлеця i О. О. Мурача (2014) представляє теорiю елiптичних крайових задач для iзотропних аналогiв просторiв, що використовуються в дисертацiї. Параболiчнi мiшанi задачi для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку мають велике прикладне значення, оскiльки служать математичними моделями багатьох природничих явищ. Отже, дослiдження мiшаних задач для параболiчних за Петровським систем диференцiальних рiвнянь другого порядку в шкалах узагальнених просторiв Соболєва є актуальним i досить непростим завданням. Його труднiсть пов’язана, зокрема, з тим, що умови узгодження правих частин мiшаної задачi для систем диференцiальних рiвнянь є iстотно складнiшими, нiж для одного рiвняння. Дисертацiя складається з анотацiї (двома мовами — українською та англiйською), вступу, основної частини з трьох роздiлiв, висновкiв до роботи, списку використаних джерел i додатку. У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми дослiдження, сформульовано мету, об’єкт, предмет, завдання та методи дослiдження, зазначено наукову новизну та практичне значення отриманих результатiв, зв’язок роботи з науковими темами й особистий внесок здобувача, вказано, де було опублiковано та апробовано результати дисертацiї. У першому роздiлi подано огляд лiтератури, присвяченої дослiдженню параболiчних мiшаних задач у рiзних шкалах функцiональних просторiв, описано основний метод дослiдження — квадратичну iнтерполяцiю (з функцiональними параметром) пар гiльбертових просторiв та деякi її необхiднi властивостi й наведено вiдомостi про анiзотропнi та iзотропнi узагальненi гiльбертовi простори Соболєва, пов’язанi з параболiчною мiшаною задачею, а також їх зв’язок з класичними просторами Соболєва за допомогою вказаної iнтерполяцiї. У другому роздiлi проведено аналiз характеру розв’язностi неоднорiдних лiнiйних початково-крайових параболiчних задач у багатовимiрному цилiндрi для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку в узагальнених гiльбертових анiзотропних просторах Соболєва. Доведено, що неперервнi оператори, породженi цими задачами, встановлюють iзоморфiзми на придатних парах зазначених просторiв, тобто задачi є коректно розв’язними на цих парах. У третьому роздiлi отримано новi достатнi умови глобальної та локальної узагальненої або класичної регулярностi розв’язкiв дослiджуваних параболiчних задач, а також знайдено новi достатнi умови, за яких узагальнений розв’язок задачi є класичним. Цi умови сформульовано в термiнах приналежностi правих частин задач узагальненим просторам Соболєва та є точними на класi цих просторiв. У додатку наведено список публiкацiй здобувача за темою дисертацiї та вiдомостi про апробацiю її результатiв. Результати дисертацiї, якi визначають її наукову новизну: 1. Встановлено теорему про коректну розв’язнiсть неоднорiдних лiнiйних параболiчних початково-крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку на придатних парах узагальнених гiльбертових анiзотропних просторах Соболєва, тобто доведено, що оператори, породженi вказаними задачами, встановлюють iзоморфiзми на цих парах. 2. Знайдено достатнi умови глобальної (в усьому цилiндрi аж до його межi) регулярностi розв’язкiв дослiджуваних задач в узагальнених просторах Соболєва. 3. Знайдено достатнi умови локальної (в заданiй частинi цилiндра) регулярностi розв’язкiв зазначених задач в узагальнених просторах Соболєва.4. Отримано новi достатнi умови, за яких вказанi узагальненi частиннi похiднi розв’язкiв цих задач є неперервними в заданiй частинi цилiндра. 5. Знайдено новi достатнi умови класичностi узагальнених розв’язкiв дослiджуваних задач. Отриманi в дисертацiї результати можуть бути застосованi у дослiдженнi широкого класу практичних задач, для яких параболiчнi системи служать математичними моделями, зокрема, у вивченнi процесiв тепломасообмiну, бiологiчної та хiмiчної кiнетики. Розроблена методика може бути використана у дослiдженнi параболiчних мiшаних задач для систем диференцiальних рiвнянь довiльних порядкiв.Документ Відкритий доступ Моделі, методи та інформаційна технологія забезпечення групової анонімності даних(2016) Тавров, Данило Юрійович; Чертов, Олег Романович; Кафедра прикладної математики; Факультет прикладної математики; Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут"