Мiшанi задачi для параболiчних систем в узагальнених просторах Соболєва
Вантажиться...
Дата
2023
Науковий керівник
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
КПІ ім. Ігоря Сікорського
Анотація
Дисертацiя присвячена дослiдженню характеру розв’язностi та регулярностi розв’язкiв лiнiйних мiшаних (тобто початково-крайових) задач
для параболiчних за Петровським систем диференцiальних рiвнянь другого порядку в шкалах узагальнених гiльбертових анiзотропних просторiв
Соболєва. Цi простори дають широке узагальнення анiзотропних версiй
класичних гiльбертових просторiв Соболєва, якi зазвичай застосовуються
до параболiчних рiвнянь. Розглядаються крайовi умови Дiрiхле та загальнi
крайовi умови першого порядку.
В анiзотропних просторах Соболєва i Гельдера параболiчнi мiшанi задачi дослiджено у працях М. С. Аграновича, М. I. Вiшика, В. О. Солоннiкова, O. О. Ладиженської, Н. М. Уральцевої, Ж.-Л. Лiонса, Е. Мадженеса,
С. Д. Ейдельмана, С. Д. Iвасишена, М. В. Житарашу, Я. А. Ройтберга та
iнших математикiв (1962 – 1998). Ними було встановлено низку фундаментальних результатiв про коректну розв’язнiсть (за Адамаром) скалярних
i матричних параболiчних початково-крайових задач на вiдповiдних парах вказаних просторiв як додатних, так i вiд’ємних (стосовно просторiв
Соболєва) порядкiв. В останнi роки В. М. Лось, В. А. Михайлець i О. О. Мурач (2013 – 2021)
розробили теорiю розв’язностi скалярних параболiчних мiшаних задач (для
одного диференцiального рiвняння) в узагальнених гiльбертових анiзотропних просторах Соболєва. Регулярнiсть (iнакше кажучи, гладкiсть) приналежних цим просторам розподiлiв задана парою дiйсних чисел i радiальною функцiєю, яка повiльно змiнюється на нескiнченностi та характеризує
додаткову регулярнiсть стосовно основної гладкостi, заданої числами. Завдяки функцiональному параметру шкала цих просторiв тонше градуйована, нiж класичнi шкали просторiв Соболєва i Гельдера. Крiм того, вона
отримується методом квадратичної iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових анiзотропних просторiв Соболєва, що дозволяє
використовувати класичнi результати про характер розв’язностi параболiчних мiшаних задач у соболєвських просторах. Використання узагальнених просторiв Соболєва дозволило встановити новi результати про коректну розв’язнiсть скалярних параболiчних початково-крайових задач i
отримати новi тонкi й точнi умови регулярностi розв’язкiв у порiвняннi з
класичними результатами.
Вiдмiтимо, що рiзнi простори узагальненої гладкостi виявилися корисними в теорiї рiвнянь з частинними похiдними L. Hormander (1983), F. Nicola та L. Rodino (2010), B. Paneah (2000) та теорiї випадкових процесiв N. Jacob (2001, 2002, 2005). Зокрема, монографiя В. А. Михайлеця i
О. О. Мурача (2014) представляє теорiю елiптичних крайових задач для
iзотропних аналогiв просторiв, що використовуються в дисертацiї.
Параболiчнi мiшанi задачi для систем диференцiальних рiвнянь другого
порядку мають велике прикладне значення, оскiльки служать математичними моделями багатьох природничих явищ. Отже, дослiдження мiшаних задач для параболiчних за Петровським
систем диференцiальних рiвнянь другого порядку в шкалах узагальнених
просторiв Соболєва є актуальним i досить непростим завданням. Його труднiсть пов’язана, зокрема, з тим, що умови узгодження правих частин мiшаної задачi для систем диференцiальних рiвнянь є iстотно складнiшими,
нiж для одного рiвняння.
Дисертацiя складається з анотацiї (двома мовами — українською та англiйською), вступу, основної частини з трьох роздiлiв, висновкiв до роботи,
списку використаних джерел i додатку.
У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми дослiдження, сформульовано
мету, об’єкт, предмет, завдання та методи дослiдження, зазначено наукову
новизну та практичне значення отриманих результатiв, зв’язок роботи з
науковими темами й особистий внесок здобувача, вказано, де було опублiковано та апробовано результати дисертацiї.
У першому роздiлi подано огляд лiтератури, присвяченої дослiдженню
параболiчних мiшаних задач у рiзних шкалах функцiональних просторiв,
описано основний метод дослiдження — квадратичну iнтерполяцiю (з функцiональними параметром) пар гiльбертових просторiв та деякi її необхiднi
властивостi й наведено вiдомостi про анiзотропнi та iзотропнi узагальненi
гiльбертовi простори Соболєва, пов’язанi з параболiчною мiшаною задачею, а також їх зв’язок з класичними просторами Соболєва за допомогою
вказаної iнтерполяцiї.
У другому роздiлi проведено аналiз характеру розв’язностi неоднорiдних лiнiйних початково-крайових параболiчних задач у багатовимiрному
цилiндрi для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку в узагальнених гiльбертових анiзотропних просторах Соболєва. Доведено, що неперервнi оператори, породженi цими задачами, встановлюють iзоморфiзми
на придатних парах зазначених просторiв, тобто задачi є коректно розв’язними на цих парах.
У третьому роздiлi отримано новi достатнi умови глобальної та локальної узагальненої або класичної регулярностi розв’язкiв дослiджуваних параболiчних задач, а також знайдено новi достатнi умови, за яких узагальнений розв’язок задачi є класичним. Цi умови сформульовано в термiнах
приналежностi правих частин задач узагальненим просторам Соболєва та
є точними на класi цих просторiв.
У додатку наведено список публiкацiй здобувача за темою дисертацiї
та вiдомостi про апробацiю її результатiв.
Результати дисертацiї, якi визначають її наукову новизну:
1. Встановлено теорему про коректну розв’язнiсть неоднорiдних лiнiйних параболiчних початково-крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку на придатних парах узагальнених
гiльбертових анiзотропних просторах Соболєва, тобто доведено, що
оператори, породженi вказаними задачами, встановлюють iзоморфiзми на цих парах.
2. Знайдено достатнi умови глобальної (в усьому цилiндрi аж до його
межi) регулярностi розв’язкiв дослiджуваних задач в узагальнених
просторах Соболєва.
3. Знайдено достатнi умови локальної (в заданiй частинi цилiндра) регулярностi розв’язкiв зазначених задач в узагальнених просторах Соболєва.4. Отримано новi достатнi умови, за яких вказанi узагальненi частиннi
похiднi розв’язкiв цих задач є неперервними в заданiй частинi цилiндра.
5. Знайдено новi достатнi умови класичностi узагальнених розв’язкiв
дослiджуваних задач.
Отриманi в дисертацiї результати можуть бути застосованi у дослiдженнi широкого класу практичних задач, для яких параболiчнi системи служать математичними моделями, зокрема, у вивченнi процесiв тепломасообмiну, бiологiчної та хiмiчної кiнетики. Розроблена методика може бути
використана у дослiдженнi параболiчних мiшаних задач для систем диференцiальних рiвнянь довiльних порядкiв.
Опис
Ключові слова
параболiчне рiвняння, система диференцiальних рiвнянь, крайова задача, узагальнений простiр Соболєва, повiльно змiнна функцiя, властивiсть iзоморфiзму, iнтерполяцiя з функцiональним параметром, узагальнений розв’язок, однозначна розв’язнiсть, розподiл, локальна регулярнiсть, класичний розв’язок, Parabolic equation, system of differential equations, boundary value problem, generalized Sobolev space, slowly varying function, isomorphism property, interpolation with function parameter, generalized solution, unique solvability, distribution, local regularity, classical solution
Бібліографічний опис
Дяченко, О. В. Мiшанi задачi для параболiчних систем в узагальнених просторах Соболєва : дис. … д-ра філософії : 113 Прикладна математика / Дяченко Олександр Вiталiйович. – Київ, 2023. – 99 с.