Асимптотична поведiнка розв’язкiв стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь в гiльбертових просторах
Вантажиться...
Дата
2023
Науковий керівник
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
КПІ ім. Ігоря Сікорського
Анотація
Станжицький А. О. Асимптотична поведiнка розв’язкiв стохастичних
функцiонально-диференцiальних рiвнянь в гiльбертових просторах. — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису.
Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiлософiї за спецiальнiстю
«111 — математика» — Нацiональний технiчний унiверситет України "Київський
полiтехнiчний iнститут iменi Iгоря Сiкорського"Мiнiстерства освiти i науки
України, Київ, 2023.
Дисертацiйна робота присвячена вивченню нескiнченновимiрних стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь в гiльбертових просторах, що
є математичними моделями найрiзноманiтнiших об’єктiв складної природи,
еволюцiя яких вiдбувається в полi випадкових сил з урахуванням пiслядiї. Найпоширенiшi серед таких моделей описуються стохастичними функцiональнодиференцiальними еволюцiйними рiвнянннями з частинними похiдними. На
вiдмiну вiд класичних стохастичних диференцiальних рiвнянь, якi можна назвати «звичайними», цi рiвняння поєднують в собi риси функцiональнодиференцiальних рiвнянь з частинними похiдними i стохастичних рiвнянь
Iто. Iнтерес до цих рiвнянь виник практично одночасно в теорiї рiвнянь з
частинними похiдними й у теорiї випадкових процесiв. Велика кiлькiсть праць
присвячена дослiдженню розв’язкiв таких рiвнянь рiзноманiтної стохастичної
природи у скiнченновимiрних i найрiзноманiтнiших нескiнченновимiрних
функцiональних просторах. Оскiльки бiльшiсть сучасних математичних моделей описує процеси iз розподiленими параметрами, то особливого значення
набувають стохастичнi рiвняння iз частинними похiдними, або бiльш широко–
рiвняння iз необмеженими опраторами. Теорiя стохастичних диференцiальних
рiвнянь з необмеженими операторами є важливим напрямком розвитку сучасної теорiї стохастичних рiвнянь. У дисертацiйнiй роботi дослiджуються
початковi задачi для стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь як
звичайного так i нейтрального типiв, тобто коли єфект запiзнення проявляється
не тiльки у коефiцiєнтах рiвняння, а i в "похiднiй". Для таких рiвнянь отриманi
умови iснування та єдиностi розв’зку, вивчена їх неперервна залежнiсть вiд
початкових даних, встановленi марковська та фелерiвська властивостi розв’язкiв
у просторах зсувiв. При цьому розглянутi рiзнi пiдходи до означення розв’язку:
м’який, слабкий та сильний.
При доведеннi iснування м’якого розв’язку використовується апарат аналiтичної теорiї напiвгруп обмежених операторiв, породжених необмеженим оператором, що входить у праву частину рiвняння. При цьому суттєво використовуються
властивостi стохастичної конволюцiї, тобто стохастичної згортки вiдповiдної
напiвгрупи iз коефiцiєнтами правої частини рiвняння. Даний пiдхiд широко
використовувався при дослiдженнi нескiнченновимiрних стохастичних систем
без запiзненням в роботах G. Da Prato, J. Zabczyk, S. Cerrai, M. Hairer та iнших
авторiв. Для стохастичних функцiально-диференцiальних рiвнянь вiн також
широко використовувася в роботах T.Govindan, Q. Li, M. Wei та iнших авторiв.
Однак для рiвнянь нейтрального типiв подiбнi результати отриманi лише при
досить жорстких припущеннях. Останнє зумовлено присутнiстю у формулi
м’якого розв’язку необмеженого оператора. Ще одним важливим аспектом
є те, що реальнi математичнi моделi є рiвняннями у яких правi частини iнтерпритуються як зовнiшнi впливи, що не зобов’язанi бути гладкими, навiть
лiпшицевими функцiями. Отже виникає питання встановлення умов iснування
та єдиностi розв’язкiв без умови Лiпшиця i лiнiйного росту.Саме такий випадок
i вивчається у роботi.
Встановлення умов iснування слабких розв’язкiв проводиться iз використанням теорiї монотонних операторiв, а також iз використанням пiдходу
компактностi, розробленого у школi Лiонса. Адаптацiя даних пiдходiв до стохастичних рiвнянь проведена в роботах Huang L, Mao X, Wei Liu, Michael Rockner
та iнших авторiв. Однак, для функцiонально-диференцiальних рiвнянь у цьому
напрямку результати отриманi лише у деяких частинних випадках. Важливо
зазначити, що на правi частини при цьому не накладається умови Лiпшиця,
яка замiнена певною умовою монотонностi i степеневого росту.
Iснування сильних розв’язкiв розглядалось ранiше лише для рiвнянь iз
фiксованим запiзненням.
Заповненню даних прогалин i присвячене дисертацiйне дослiдження. Зокрема отриманi теореми iснування м’яких розв’язкiв для рiвнянь нейтрального
типу при значно слабших умовах, нiж у вище вказаних авторiв, доведено iснування слабких розв’язкiв для спарених рiвнянь, одне з яких нескiнченновимiрне
стохастичне функцiонально-диференцiальне, а iнше звичайне диференцiальне.
Такi рiвняння з’являються у рiзного роду застосуваннях: наприклад бiдоменне
рiвняння (модель дефибрилятора), рiвняння Ходкiна–Хакслi для аксона нерва,рiвняння ядерної динамiки та iншi. При встановленнi умов iснування сильних
розв’язкiв використоно пiдхiд, що базується на отриманнi апрiорних оцiнок
математичного сподiвання рiзних норм соболiвського типу iз подальшим
застосуванням теорем типу Сiрiна.
Окреме коло питань дисертацiйного дослiдження стосується асимптотичної
поведiнки розв’язкiв на великих часових iнтервалах.Важливим з цього приводу
є питання iснування iнварiантних мiр у фазових просторах розв’язкiв вiдповiдних рiвнянь. Для стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь це
питання добре вивчене лише у скiнченномiрному випадку (див. наприклад S.
Meri, M. Scheutzow та iншi.) Основна iдея встановлення iснування iнварiантної
мiри базується на знаменитiй теоремi Крилова–Боголюбова про компактнiсть
сiм’ї мiр, породжених марковською динамiчною системою. Розвиваючи цю iдею
для нескiнченновимiрних стохастичних систем G. Da Prato, J. Zabczyk розробили
пiдхiд компактностi, що базується на наступних кроках: 1) встановлюється фелерiвська властивiсть для розв’язкiв та їх стохастична неперервнiсть за часовою
змiнною; 2) доводиться компактнiсть вiдповiдної напiвгрупи опрераторiв у
спецiальних фазових просторах; 3) встановлюється iснування обмеженого за
ймовiрнiстю розв’язку.
Тодi з використанням теореми Крилова–Боголюбова доводиться iснування
iнварiантної мiри.
Складнiсть застосування даного пiдходу до нескiнченновимiрних стохастичних функцiонально–диференцiальних рiвнянь полягає у виборi фазового
простору, у якому розв’язок має фелерiвську властивiсть.Таким простором виступає не вихiдний гiльбертiв простiр H, де "сидить розв’язок u = u(t) а простiр
зсувiв розв’язку ut = u(t + 0), тут 0 e [−h, 0]–iнтервал запiзнення. При цьому
теореми iснування та єдиностi доводяться, як правило у просторi неперервних
функцiй C( [−h, 0];H), що не є гiльбертовим простором,а саме у гiльбертовому
просторi працює пiдхiд компактностi.
В дисертацiйнiй роботi розроблено два пiдходи до доведення iснування
iнварiантної мiри.
Перший з них полягає в тому, що замiсть банахового простору початкових
даних C( [−h, 0];H) розглянуто простiр L
2
( [−h, 0];H), що вже є гiльбертовим
простором, у якому добре працює пiдхiд компактностi. Для цього потрiбно було
встановити теореми iснування та єдиностi розв’язку iз початковими даними
з простору L
2
( [−h, 0];H), замiсть класичного простору C( [−h, 0];H), довести в
ньому марковську та фелерiвську властивостi.
Другий пiдхiд базується на використаннi класичного простору початкових даних ( [−h, 0];H), iз використанням того факту, що теорема Крилова–Боголюбова
працює в банаховому просторi, а компактнiсть сiм’ї ймовiрнiсних мiр за теоремою Прохорова рiвносильна її щiльностi. В роботi доведена щiльнiсть сiм’ї
мiр, за умови, що система має обмежений за ймовiрнiстю розв’язок у метрицi
простору ( [−h, 0];H).
Окреме коло питань роботи присвячене застосуванню отриманих результатiв.
У якостi реалiзацiї доведених абстрактних теорем розглянутi рiвняння типу
реакцiя–дифузiя, бiдоменне рiвняння та iнтегро–диференцiальнi рiвняння. Для
таких об’єктiв отриманi коефiцiєнтнi умови iснування iнварiантних мiр, що
зводяться до перевiрки певних умов для дiйсних скалярних функцiй.
Дисертацiйна робота має в основному,теоретичне значення. Її результати
дають можливiсть дослiджувати еволюцiю нескiнченновимiрних стохастичних
систем складної природи, що мають ефект пiслядiї. Однак, розробленi методи
доослiдження дозволяють застосувати їх до вивчення конкретних математичних
моделей iз розподiленими параметрами, еволюцiя яких вiдбувається в полi
випадкових сил i якi мають ефект пiслядiї, а саме бiомедицинi, фiнансовiй
математицi, телекомунiкацiйних мережах, гiдрологiї, турбулентностi та iнших.
Окрiм цього, результати можна використовувати для викладання профiльних
курсiв для спецiальностi математика.
Опис
Ключові слова
Стохастичнi диференцiальнi рiвняння з запiзненням, стохастичнi функцiонально-диференцiальнi рiвняння нейтрального типу, рiвняння реакцiї-дифузiї, початкова задача, м’який розв’язок («mild solution»), Q - вiнерiвський процес, напiвгрупа операторiв, iнфiнiтезимальний генератор, гiльбертiв простiр, теорема iснування i єдиностi, теорема порiвняння, неперервна залежнiсть вiд початкових даних, марковiсть, фелеровiсть, iнварiантна мiра, stochastic differential equations with delay, stochastic functional differential equations of neutral type, reaction-diffusion equations, initial-value problem, mild solution, Q -Wiener process, semigroup of operators, infinitesimal generator, Hilbert space, existence and uniqueness theorem, comparison theorem, continuous dependence on initial data, Markov property, Feller property, invariant measure
Бібліографічний опис
Станжицький, А. О. Асимптотична поведiнка розв’язкiв стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь в гiльбертових просторах : дис. … д-ра філософії : 111 Математика / Станжицький Андрiй Олександрович. – Київ, 2023. – 142 с.