Асимптотична поведiнка розв’язкiв стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь в гiльбертових просторах
| dc.contributor.advisor | Дудкiн, Микола Євгенович | |
| dc.contributor.author | Станжицький, Андрiй Олександрович | |
| dc.date.accessioned | 2023-11-02T14:14:52Z | |
| dc.date.available | 2023-11-02T14:14:52Z | |
| dc.date.issued | 2023 | |
| dc.description.abstract | Станжицький А. О. Асимптотична поведiнка розв’язкiв стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь в гiльбертових просторах. — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису. Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiлософiї за спецiальнiстю «111 — математика» — Нацiональний технiчний унiверситет України "Київський полiтехнiчний iнститут iменi Iгоря Сiкорського"Мiнiстерства освiти i науки України, Київ, 2023. Дисертацiйна робота присвячена вивченню нескiнченновимiрних стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь в гiльбертових просторах, що є математичними моделями найрiзноманiтнiших об’єктiв складної природи, еволюцiя яких вiдбувається в полi випадкових сил з урахуванням пiслядiї. Найпоширенiшi серед таких моделей описуються стохастичними функцiональнодиференцiальними еволюцiйними рiвнянннями з частинними похiдними. На вiдмiну вiд класичних стохастичних диференцiальних рiвнянь, якi можна назвати «звичайними», цi рiвняння поєднують в собi риси функцiональнодиференцiальних рiвнянь з частинними похiдними i стохастичних рiвнянь Iто. Iнтерес до цих рiвнянь виник практично одночасно в теорiї рiвнянь з частинними похiдними й у теорiї випадкових процесiв. Велика кiлькiсть праць присвячена дослiдженню розв’язкiв таких рiвнянь рiзноманiтної стохастичної природи у скiнченновимiрних i найрiзноманiтнiших нескiнченновимiрних функцiональних просторах. Оскiльки бiльшiсть сучасних математичних моделей описує процеси iз розподiленими параметрами, то особливого значення набувають стохастичнi рiвняння iз частинними похiдними, або бiльш широко– рiвняння iз необмеженими опраторами. Теорiя стохастичних диференцiальних рiвнянь з необмеженими операторами є важливим напрямком розвитку сучасної теорiї стохастичних рiвнянь. У дисертацiйнiй роботi дослiджуються початковi задачi для стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь як звичайного так i нейтрального типiв, тобто коли єфект запiзнення проявляється не тiльки у коефiцiєнтах рiвняння, а i в "похiднiй". Для таких рiвнянь отриманi умови iснування та єдиностi розв’зку, вивчена їх неперервна залежнiсть вiд початкових даних, встановленi марковська та фелерiвська властивостi розв’язкiв у просторах зсувiв. При цьому розглянутi рiзнi пiдходи до означення розв’язку: м’який, слабкий та сильний. При доведеннi iснування м’якого розв’язку використовується апарат аналiтичної теорiї напiвгруп обмежених операторiв, породжених необмеженим оператором, що входить у праву частину рiвняння. При цьому суттєво використовуються властивостi стохастичної конволюцiї, тобто стохастичної згортки вiдповiдної напiвгрупи iз коефiцiєнтами правої частини рiвняння. Даний пiдхiд широко використовувався при дослiдженнi нескiнченновимiрних стохастичних систем без запiзненням в роботах G. Da Prato, J. Zabczyk, S. Cerrai, M. Hairer та iнших авторiв. Для стохастичних функцiально-диференцiальних рiвнянь вiн також широко використовувася в роботах T.Govindan, Q. Li, M. Wei та iнших авторiв. Однак для рiвнянь нейтрального типiв подiбнi результати отриманi лише при досить жорстких припущеннях. Останнє зумовлено присутнiстю у формулi м’якого розв’язку необмеженого оператора. Ще одним важливим аспектом є те, що реальнi математичнi моделi є рiвняннями у яких правi частини iнтерпритуються як зовнiшнi впливи, що не зобов’язанi бути гладкими, навiть лiпшицевими функцiями. Отже виникає питання встановлення умов iснування та єдиностi розв’язкiв без умови Лiпшиця i лiнiйного росту.Саме такий випадок i вивчається у роботi. Встановлення умов iснування слабких розв’язкiв проводиться iз використанням теорiї монотонних операторiв, а також iз використанням пiдходу компактностi, розробленого у школi Лiонса. Адаптацiя даних пiдходiв до стохастичних рiвнянь проведена в роботах Huang L, Mao X, Wei Liu, Michael Rockner та iнших авторiв. Однак, для функцiонально-диференцiальних рiвнянь у цьому напрямку результати отриманi лише у деяких частинних випадках. Важливо зазначити, що на правi частини при цьому не накладається умови Лiпшиця, яка замiнена певною умовою монотонностi i степеневого росту. Iснування сильних розв’язкiв розглядалось ранiше лише для рiвнянь iз фiксованим запiзненням. Заповненню даних прогалин i присвячене дисертацiйне дослiдження. Зокрема отриманi теореми iснування м’яких розв’язкiв для рiвнянь нейтрального типу при значно слабших умовах, нiж у вище вказаних авторiв, доведено iснування слабких розв’язкiв для спарених рiвнянь, одне з яких нескiнченновимiрне стохастичне функцiонально-диференцiальне, а iнше звичайне диференцiальне. Такi рiвняння з’являються у рiзного роду застосуваннях: наприклад бiдоменне рiвняння (модель дефибрилятора), рiвняння Ходкiна–Хакслi для аксона нерва,рiвняння ядерної динамiки та iншi. При встановленнi умов iснування сильних розв’язкiв використоно пiдхiд, що базується на отриманнi апрiорних оцiнок математичного сподiвання рiзних норм соболiвського типу iз подальшим застосуванням теорем типу Сiрiна. Окреме коло питань дисертацiйного дослiдження стосується асимптотичної поведiнки розв’язкiв на великих часових iнтервалах.Важливим з цього приводу є питання iснування iнварiантних мiр у фазових просторах розв’язкiв вiдповiдних рiвнянь. Для стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь це питання добре вивчене лише у скiнченномiрному випадку (див. наприклад S. Meri, M. Scheutzow та iншi.) Основна iдея встановлення iснування iнварiантної мiри базується на знаменитiй теоремi Крилова–Боголюбова про компактнiсть сiм’ї мiр, породжених марковською динамiчною системою. Розвиваючи цю iдею для нескiнченновимiрних стохастичних систем G. Da Prato, J. Zabczyk розробили пiдхiд компактностi, що базується на наступних кроках: 1) встановлюється фелерiвська властивiсть для розв’язкiв та їх стохастична неперервнiсть за часовою змiнною; 2) доводиться компактнiсть вiдповiдної напiвгрупи опрераторiв у спецiальних фазових просторах; 3) встановлюється iснування обмеженого за ймовiрнiстю розв’язку. Тодi з використанням теореми Крилова–Боголюбова доводиться iснування iнварiантної мiри. Складнiсть застосування даного пiдходу до нескiнченновимiрних стохастичних функцiонально–диференцiальних рiвнянь полягає у виборi фазового простору, у якому розв’язок має фелерiвську властивiсть.Таким простором виступає не вихiдний гiльбертiв простiр H, де "сидить розв’язок u = u(t) а простiр зсувiв розв’язку ut = u(t + 0), тут 0 e [−h, 0]–iнтервал запiзнення. При цьому теореми iснування та єдиностi доводяться, як правило у просторi неперервних функцiй C( [−h, 0];H), що не є гiльбертовим простором,а саме у гiльбертовому просторi працює пiдхiд компактностi. В дисертацiйнiй роботi розроблено два пiдходи до доведення iснування iнварiантної мiри. Перший з них полягає в тому, що замiсть банахового простору початкових даних C( [−h, 0];H) розглянуто простiр L 2 ( [−h, 0];H), що вже є гiльбертовим простором, у якому добре працює пiдхiд компактностi. Для цього потрiбно було встановити теореми iснування та єдиностi розв’язку iз початковими даними з простору L 2 ( [−h, 0];H), замiсть класичного простору C( [−h, 0];H), довести в ньому марковську та фелерiвську властивостi. Другий пiдхiд базується на використаннi класичного простору початкових даних ( [−h, 0];H), iз використанням того факту, що теорема Крилова–Боголюбова працює в банаховому просторi, а компактнiсть сiм’ї ймовiрнiсних мiр за теоремою Прохорова рiвносильна її щiльностi. В роботi доведена щiльнiсть сiм’ї мiр, за умови, що система має обмежений за ймовiрнiстю розв’язок у метрицi простору ( [−h, 0];H). Окреме коло питань роботи присвячене застосуванню отриманих результатiв. У якостi реалiзацiї доведених абстрактних теорем розглянутi рiвняння типу реакцiя–дифузiя, бiдоменне рiвняння та iнтегро–диференцiальнi рiвняння. Для таких об’єктiв отриманi коефiцiєнтнi умови iснування iнварiантних мiр, що зводяться до перевiрки певних умов для дiйсних скалярних функцiй. Дисертацiйна робота має в основному,теоретичне значення. Її результати дають можливiсть дослiджувати еволюцiю нескiнченновимiрних стохастичних систем складної природи, що мають ефект пiслядiї. Однак, розробленi методи доослiдження дозволяють застосувати їх до вивчення конкретних математичних моделей iз розподiленими параметрами, еволюцiя яких вiдбувається в полi випадкових сил i якi мають ефект пiслядiї, а саме бiомедицинi, фiнансовiй математицi, телекомунiкацiйних мережах, гiдрологiї, турбулентностi та iнших. Окрiм цього, результати можна використовувати для викладання профiльних курсiв для спецiальностi математика. | uk |
| dc.description.abstractother | Stanzhytsky A. O. Asymptotic behavior of solutions of stochastic functional differential equations in Hilbert spaces. — Manuscript. Doctor’s of Philosophy, specialty "111 — Statistics” — National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”of Kyiv, Ministry of Education and Science of Ukraine, Kyiv, 2022. The thesis is devoted to the study of infinite-dimensional stochastic functionaldifferential equations in Hilbert spaces, which are mathematical models. the most diverse objects of a complex nature, the evolution of which takes place in the field of random forces, taking into account the after effect. The most common among such models are described by stochastic partial functional-differential equations.Unlike classical stochastic differential equations, which can be called "ordinary these equations combine the features of functional differential equations with partial derivatives and stochastic Ito equations. Interest in these equations arose almost simultaneously in the theory of equations with partial derivatives and in the theory of random processes. A large number of works are devoted to the study of solutions of such equations of various stochastic nature finite-dimensional and various infinite-dimensional functional spaces. Since the majority of modern mathematical models describe processes with distributed parameters, stochastic equations with partial derivatives, or more broadly, equations with unbounded operators, acquire special importance. The theory of stochastic differential equations with unbounded operators is an important direction in the development of the modern theory of stochastic equations. We stude the initial value problems for stochastic functional-differential equations of both ordinary and neutral types, that is, when the delay effect is manifested not only in the coefficients of the equation, but also in the "derivative". For such equations, the conditions for the existence and uniqueness of the solution were obtained, their continuous dependence on the initial data was studied, and the Markov and Feller properties of the solutions in displacement spaces were established. At the same time, different approaches to defining the solution are considered: mild, weak and strong. When proving the existence of a soft solution, the apparatus of the analytical theory of semigroups of bounded operators generated by the unbounded operator included in the right-hand side of the equation is used. At the same time, the properties of stochastic convolution, that is, stochastic convolution of the corresponding semigroup with the coefficients of the right-hand side of the equation, are significantly used. This approach was widely used in the study of infinite-dimensional stochastic systems without delay in the works of G. Da Prato, J. Zabczyk, S. Cerrai, M. Hairer and other authors. For stochastic functional differential equations, it is also widely used in the works of T. Govindan, Q. Li, M. Wei and other authors. However, for equations of neutral types, similar results are obtained only under fairly strict assumptions. The latter is caused by the presence of an unbounded operator in the soft solution formula. Another important aspect is that real mathematical models are equations in which the right-hand sides are interpreted as external influences, which do not have to be smooth, even Lipschitz functions. Therefore, the question arises of establishing the conditions for the existence and unity of solutions without the Lipshitz condition and linear growth. This is exactly the case that is studied in the work. Establishing the conditions for the existence of weak solutions is carried out using the theory of monotone operators, as well as using the compactness approach developed at the Lyons school. The adaptation of these approaches to stochastic equations is carried out in the works of Huang L, Mao X, Wei Liu, Michael Rockner and other authors. However, for functional differential equations in this direction, results are obtained only in some partial cases. It is important to note that the Lipshitz condition is not imposed on the right-hand side, which is replaced by a certain condition of monotonicity and exponential growth. The existence of strong solutions was previously considered only for equations with a fixed delay. A dissertation study is devoted to filling these gaps. In particular, theorems for the existence of soft solutions for equations of the neutral type were obtained under much weaker conditions than those of the above-mentioned authors, and the existence of weak solutions for coupled equations was proved, one of which is an infinitedimensional stochastic functional-differential, and the other is an ordinary differential. Such equations appear in various applications: for example, two-domain equations (defibrillator model), Hodgkin-Huxley equation for a nerve axon, nuclear dynamics equation, and others. When establishing the conditions for the existence of strong solutions, an approach based on obtaining a priori estimates of the mathematical expectation of various Sobolev-type norms with subsequent application of Sirrin-type theorems was used. A separate set of dissertation research questions concerns the asymptotic behavior of solutions on large time intervals. Important in this regard is the question of the existence of invariant measures in the phase spaces of the solutions of the corresponding equations. For stochastic functional-differential equations, this issue is well studied only in the finite-dimensional case (see, for example, S. Meri, M. Scheutzow, and others.) The main idea of establishing the existence of an invariant measure is based on the famous Krylov-Bogolyubov theorem on the compactness of a family of measures, generated by a Markov dynamic system. Developing this idea for infinite-dimensional stochastic systems, G. Da Prato and J. Zabczyk developed a compactness approach based on the following steps: 1) the Feller property for solutions and their stochastic continuity with respect to the time variable is established; 2) the compactness of the corresponding semigroup of operators in special phase spaces is proved; 3) the existence of a solution limited by probability is established. Then, using the Krylov-Bogolyubov theorem, the existence of an invariant measure is proved. The difficulty of applying this approach to infinite-dimensional stochastic functionaldifferential equations is to choose a phase space in which the solution has the Feller property. Such a space is the non-original Hilbert space H, where the solution u = ut) and the solution displacement space ut = u(t +0), here 0 e [−h, 0] is the delay interval. At the same time, the theorems of existence and uniqueness are proved, as a rule, in the space of continuous functions C( [−h, 0];H), which is not a Hilbert space, namely, the compactness approach works in a Hilbert space. Two approaches to proving the existence of an invariant measure were developed in the dissertation. The first of them consists in the fact that instead of the Banach space of the initial data C( [−h, 0];H), the Hilbert space L 2 ( [−h, 0];H) is considered, which is already a Hilbert space in which the compactness approach works well. For this, it was necessary to establish the existence and uniqueness theorems of the solution with initial data from the space L 2 ( [−h, 0];H), instead of the classical space C( [−h, 0];H), to prove the Markov and Feller properties in it. The second approach is based on the use of the classical space of initial data C( [−h, 0];H), using the fact that the Krylov-Bogolyubov theorem works in the Banach space, and the compactness of the family of probability measures by the theorem Prokhorova is equal to its density. The paper proves the density of the family of measures, provided that the system has a probability-bounded solution in the metric space ( [−h, 0];H). A separate set of work issues is devoted to the application of the obtained results. Reaction-diffusion equations, two-domain equations, and integro-differential equations are considered as realizations of proven abstract theorems. For such objects, coefficient conditions for the existence of invariant measures are obtained, which boil down to checking certain conditions for real scalar functions. The dissertation has mainly of theoretical importance. Its results make it possible to study the evolution of infinite-dimensional stochastic systems of a complex nature that have an aftereffect. However, the developed research methods make it possible to apply them to the study of specific mathematical models with distributed parameters, the evolution of which takes place in the field of random forces and which have an aftereffect, namely biomedicine, financial mathematics, telecommunication networks, hydrology, turbulence, and others. In addition, the results can be used to teach specialized courses for the mathematics major. | uk |
| dc.format.extent | 142 с. | uk |
| dc.identifier.citation | Станжицький, А. О. Асимптотична поведiнка розв’язкiв стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь в гiльбертових просторах : дис. … д-ра філософії : 111 Математика / Станжицький Андрiй Олександрович. – Київ, 2023. – 142 с. | uk |
| dc.identifier.uri | https://ela.kpi.ua/handle/123456789/61987 | |
| dc.language.iso | uk | uk |
| dc.publisher | КПІ ім. Ігоря Сікорського | uk |
| dc.publisher.place | Київ | uk |
| dc.subject | Стохастичнi диференцiальнi рiвняння з запiзненням | uk |
| dc.subject | стохастичнi функцiонально-диференцiальнi рiвняння нейтрального типу | uk |
| dc.subject | рiвняння реакцiї-дифузiї | uk |
| dc.subject | початкова задача | uk |
| dc.subject | м’який розв’язок («mild solution») | uk |
| dc.subject | Q - вiнерiвський процес | uk |
| dc.subject | напiвгрупа операторiв | uk |
| dc.subject | iнфiнiтезимальний генератор | uk |
| dc.subject | гiльбертiв простiр | uk |
| dc.subject | теорема iснування i єдиностi | uk |
| dc.subject | теорема порiвняння | uk |
| dc.subject | неперервна залежнiсть вiд початкових даних | uk |
| dc.subject | марковiсть | uk |
| dc.subject | фелеровiсть | uk |
| dc.subject | iнварiантна мiра | uk |
| dc.subject | stochastic differential equations with delay | uk |
| dc.subject | stochastic functional differential equations of neutral type | uk |
| dc.subject | reaction-diffusion equations | uk |
| dc.subject | initial-value problem | uk |
| dc.subject | mild solution | uk |
| dc.subject | Q -Wiener process | uk |
| dc.subject | semigroup of operators | uk |
| dc.subject | infinitesimal generator | uk |
| dc.subject | Hilbert space | uk |
| dc.subject | existence and uniqueness theorem | uk |
| dc.subject | comparison theorem | uk |
| dc.subject | continuous dependence on initial data | uk |
| dc.subject | Markov property | uk |
| dc.subject | Feller property | uk |
| dc.subject | invariant measure | uk |
| dc.subject.udc | 517.9 | uk |
| dc.title | Асимптотична поведiнка розв’язкiв стохастичних функцiонально-диференцiальних рiвнянь в гiльбертових просторах | uk |
| dc.type | Thesis Doctoral | uk |
Файли
Контейнер файлів
1 - 1 з 1
Вантажиться...
- Назва:
- Stanzhytsky_dys.pdf
- Розмір:
- 873.22 KB
- Формат:
- Adobe Portable Document Format
- Опис:
Ліцензійна угода
1 - 1 з 1
Ескіз недоступний
- Назва:
- license.txt
- Розмір:
- 9.1 KB
- Формат:
- Item-specific license agreed upon to submission
- Опис: