Фредгольмовi крайовi задачi з параметром у функцiональних просторах
Вантажиться...
Дата
2022
Науковий керівник
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
КПІ ім. Ігоря Сікорського
Анотація
Скоробогач Т. Б. Фредгольмовi крайовi задачi з параметром у
функцiональних просторах. — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах
рукопису.
Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiлософiї за спецiальнiстю 111 – Математика. — Нацiональний технiчний унiверситет України
”Київський полiтехнiчний iнститут iменi Iгоря Сiкорського”. - Україна, Київ,
2022.
Дисертацiя присвячена дослiдженню характеристик розв’язностi i неперервностi за параметром розв’язкiв найбiльш загальних класiв одновимiрних
неоднорiдних крайових задач для систем лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку у просторах Соболєва-Слободецького на скiнченному iнтервалi.
Питання про обґрунтування граничного переходу щодо задач Кошi та загальних крайових задач пiдлягало дослiдженню з боку численної кiлькостi
математикiв. Фундаментальнi результати про неперервну залежнiсть за параметром розв’язкiв задач Кошi для нелiнiйних систем були встановленi в
роботах I. I. Гiхмана (1952), M. A. Красносельського i С. Г. Крейна (1955),
Я. Курцвейля i З. Ворела (1957), A. M. Самойленка (1962 – 1965). Уточнення
та доповнення для лiнiйних систем даних результатiв було проведено А. Ю.
Левiним (1967 – 1973), З. Опялем (1967), В. Т. Рейдом (1967) та Нгуен Тхе
Хоаном (1993).
I. Т. Кiгурадзе (1975 – 2003) i M. Ашордiа (1996) було введено та було дослiджено клас загальних лiнiйних крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку. Розв’язки цих задач є абсолютно неперервними
функцiями на вiдрiзку [a, b]. Були встановленi умови неперервної залежностi
за параметром розв’язкiв у просторi C([a, b], R
m). В. А. Михайлець, Н. В. Рева, Т. I. Кодлюк i Г. О. Чеханова узагальнили вказанi результати для комплекснозначних функцiй та лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь вищих
порядкiв у своїх роботах.
В. А. Михайлецем i його учнями (2008 – 2018) були введенi i дослiдженi класи найбiльш загальних крайових задач для лiнiйних систем звичайних
диференцiальних рiвнянь у рiзних функцiональних просторах, зокрема у просторах Соболєва (Рева Н. В., Кодлюк Т. I., Гнип Є. В.), просторi неперервно диференцiйовних функцiй (Чеханова Г. О., Солдатов В. О.), просторах
Гельдера (Солдатов В. О., Маслюк Г. О.), просторi Соболєва-Слободецького
(Гнип Є. В., Маслюк Г. О.). Було доведено фредгольмовiсть таких задач,
знайдено достатнi умови їх коректної розв’язностi та неперервної залежностi
за параметром їх розв’язкiв у вищевказаних просторах.
Для найбiльш загальних крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку достатнi умови неперервної залежностi за параметром
їх розв’язкiв у просторах Соболєва Wn
p
, де 1 p < , встановлено Т. I. Кодлюк i В. А. Михайлецем (2010). Випадок p = розглянуто у роботi А. М.
Атласюк та В.А. Михайлеця [2].
В. А. Михайлецем i О. О. Мурачем, В.О. Солдатовим (2016) було доведено
конструктивний критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв найбiльш
загальних крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку у просторах Гельдера, Є. В. Гнип, В. А. Михайлецем (2016) — у просторi Соболєва-Слободецького. Для систем вищих порядкiв зазначений критерiй
було доведено у просторах цiлої гладкостi — неперервно диференцiйованих
функцiй (Мурач О. О., Солдатов В.О.) i Соболєва (Гнип Є. В., Михайлець
В. А., Мурач О.О.).
Цi результати було застосовано для дослiдження багатоточкових крайових задач, матриць Грiна та були використанi у спектральнiй теорiї диференцiальних операторiв iз сингулярними коефiцiєнтами. Проте у деяких задачах
теорiї диференцiальних рiвнянь використовуються не лише простори цiлої
гладкостi, а й простори, де показником гладкостi може бути i дробове число.
Простори Гельдера та простори Соболєва-Слободецького є найвiдомiшi серед
них.
Зважаючи на це, є актуальним дослiдження найбiльш загальних крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь перших порядкiв у
просторах Соболєва-Слободецького Ws
p
, де s (1,)\N, 1 p < , зокрема
питання про необхiднi i достатнi умови неперервної залежностi за параметром
розв’язкiв цих задач. Необхiдно зазначити, що такi задачi можуть мiстити в
крайових умовах похiднi цiлого та/чи дробового порядку бiльшого за порядок рiвняння, тому вони мають iстотнi особливостi, що вiдсутнi у класичних
задачах (Кошi, дво- та багатоточкових, iнтегральних та мiшаних задачах).
Дисертацiя складається з анотацiй українською та англiйською мовами,
перелiку умовних позначень, вступу, трьох роздiлiв основної частини, висновкiв, списку використаних джерел i додатку.
У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми дослiдження, сформульовано
мету, об’єкт, предмет, завдання i методи дослiдження, зазначено наукову новизну отриманих результатiв, їх практичне значення, зв’язок роботи з науковими темами й особистий внесок здобувача, вказано, де було апробовано та
опублiковано результати дисертацiї.
У першому роздiлi обговорено об’єкт i предмет, наведено огляд лiтератури за тематикою дисертацiйного дослiдження. Об’єктом дослiдження є
одновимiрнi фредгольмовi крайовi задачi, найбiльш загальнi щодо просторiв
Соболєва-Слободецького, а предметом — характер залежностi за параметром
розв’язкiв цих задач у вiдповiдних нормованих просторах.
У другому роздiлi дослiджено найбiльш загальнi крайовi задачi та найбiльш загальнi багатоточковi крайовi задачi для системи m звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку, розв’язки яких пробiгають простiр
Соболєва-Слободецького (Ws
p
)
m, де s (1,) \ N, 1 p < . Показано, що
дослiджуваним крайовим задачам вiдповiдає фредгольмiв оператор з iндексом m − r на парi нормованих просторiв (Ws
p
)
m i (Ws−1
p
)
m × C
r
. Доведено
критерiй однозначної розв’язностi дослiджуваних крайових задач у цих просторах. Встановлено, що вимiрностi ядра i коядра оператора неоднорiдної
крайової задачi дорiвнюють вiдповiдно вимiрностi ядра i коядра її характеристичної матрицi.
У третьому роздiлi для крайових задач, залежних вiд малого параметра
0, встановлено конструктивний критерiй неперервностi за параметром
розв’язкiв при = 0 у просторi (Ws
p
)
m. Показано, що похибка i нев’язка
розв’язкiв цих задач мають однаковий порядок малостi при 0+ у вiдповiдних просторах Соболєва-Слободецького. Встановлено достатнi умови неперервностi за параметром розв’язкiв багатоточкової крайової задачi при = 0
у нормованому просторi (Ws
p
)
m у випадку s (1,) \ N, 1 p < .
Додаток мiстить список публiкацiй здобувачки за темою дисертацiї та
вiдомостi про апробацiю результатiв дисертацiї.
Основнi результати, якi визначають наукову новизну дисертацiї:
- для найбiльш загальних неоднорiдних крайових задач у просторах
Соболєва-Слободецького (Ws
p
)
m встановлено їх нетеровiсть i знайдено
iндекс;
- у термiнах спецiально введеної числової характеристичної матрицi знайдено вимiрностi ядра i коядра розглянутих крайових задач;
- знайдено конструктивнi достатнi умови збiжностi характеристичних
матриць послiдовностi неоднорiдних крайових задач;
- вперше дослiджено неперервнiсть за параметром розв’язкiв крайових
задач у просторах Соболєва-Слободецького (Ws
p
)
m для всiх значень 1
p < . Знайдено критерiй неперервностi розв’язкiв за параметром;
- доведено, що похибка i нев’язка розв’язкiв крайових задач мають однаковий порядок малостi;
- отримано граничну теорему для розв’язкiв багатоточкових крайових
задач у просторах Соболєва-Слободецького (Ws
p
)
m 1 p < .
Дисертацiйна робота має теоретичний характер. Її результати та методика
їх отримання можуть бути використанi у подальшому розвитку теорiї одновимiрних фредгольмових крайових задач, зокрема багатоточкових, задач iз
похiдними дробового порядку.
Опис
Ключові слова
система диференцiальних рiвнянь, крайова задача, простiр Соболєва-Слободецького, фредгольмiв оператор, неперервнiсть за параметром, багатоточкова крайова задача, характеристична матриця, system of differential equations, boundary-value problem, Sobolev-Slobodetskiy space, Fredholm operator, continuity in a parameter, multipoint boundary-value problem, characteristic matrix
Бібліографічний опис
Скоробогач, Т. Б. Фредгольмовi крайовi задачi з параметром у функцiональних просторах : дис. … д-ра філософії : 111 – Математика / Скоробогач Тетяна Богданiвна. – Київ, 2022. – 117 с.