Фредгольмовi крайовi задачi з параметром у функцiональних просторах
| dc.contributor.advisor | Михайлець, Володимир Андрiйович | |
| dc.contributor.author | Скоробогач, Тетяна Богданiвна | |
| dc.date.accessioned | 2023-04-12T11:05:37Z | |
| dc.date.available | 2023-04-12T11:05:37Z | |
| dc.date.issued | 2022 | |
| dc.description.abstract | Скоробогач Т. Б. Фредгольмовi крайовi задачi з параметром у функцiональних просторах. — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису. Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiлософiї за спецiальнiстю 111 – Математика. — Нацiональний технiчний унiверситет України ”Київський полiтехнiчний iнститут iменi Iгоря Сiкорського”. - Україна, Київ, 2022. Дисертацiя присвячена дослiдженню характеристик розв’язностi i неперервностi за параметром розв’язкiв найбiльш загальних класiв одновимiрних неоднорiдних крайових задач для систем лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку у просторах Соболєва-Слободецького на скiнченному iнтервалi. Питання про обґрунтування граничного переходу щодо задач Кошi та загальних крайових задач пiдлягало дослiдженню з боку численної кiлькостi математикiв. Фундаментальнi результати про неперервну залежнiсть за параметром розв’язкiв задач Кошi для нелiнiйних систем були встановленi в роботах I. I. Гiхмана (1952), M. A. Красносельського i С. Г. Крейна (1955), Я. Курцвейля i З. Ворела (1957), A. M. Самойленка (1962 – 1965). Уточнення та доповнення для лiнiйних систем даних результатiв було проведено А. Ю. Левiним (1967 – 1973), З. Опялем (1967), В. Т. Рейдом (1967) та Нгуен Тхе Хоаном (1993). I. Т. Кiгурадзе (1975 – 2003) i M. Ашордiа (1996) було введено та було дослiджено клас загальних лiнiйних крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку. Розв’язки цих задач є абсолютно неперервними функцiями на вiдрiзку [a, b]. Були встановленi умови неперервної залежностi за параметром розв’язкiв у просторi C([a, b], R m). В. А. Михайлець, Н. В. Рева, Т. I. Кодлюк i Г. О. Чеханова узагальнили вказанi результати для комплекснозначних функцiй та лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь вищих порядкiв у своїх роботах. В. А. Михайлецем i його учнями (2008 – 2018) були введенi i дослiдженi класи найбiльш загальних крайових задач для лiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь у рiзних функцiональних просторах, зокрема у просторах Соболєва (Рева Н. В., Кодлюк Т. I., Гнип Є. В.), просторi неперервно диференцiйовних функцiй (Чеханова Г. О., Солдатов В. О.), просторах Гельдера (Солдатов В. О., Маслюк Г. О.), просторi Соболєва-Слободецького (Гнип Є. В., Маслюк Г. О.). Було доведено фредгольмовiсть таких задач, знайдено достатнi умови їх коректної розв’язностi та неперервної залежностi за параметром їх розв’язкiв у вищевказаних просторах. Для найбiльш загальних крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку достатнi умови неперервної залежностi за параметром їх розв’язкiв у просторах Соболєва Wn p , де 1 p < , встановлено Т. I. Кодлюк i В. А. Михайлецем (2010). Випадок p = розглянуто у роботi А. М. Атласюк та В.А. Михайлеця [2]. В. А. Михайлецем i О. О. Мурачем, В.О. Солдатовим (2016) було доведено конструктивний критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв найбiльш загальних крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку у просторах Гельдера, Є. В. Гнип, В. А. Михайлецем (2016) — у просторi Соболєва-Слободецького. Для систем вищих порядкiв зазначений критерiй було доведено у просторах цiлої гладкостi — неперервно диференцiйованих функцiй (Мурач О. О., Солдатов В.О.) i Соболєва (Гнип Є. В., Михайлець В. А., Мурач О.О.). Цi результати було застосовано для дослiдження багатоточкових крайових задач, матриць Грiна та були використанi у спектральнiй теорiї диференцiальних операторiв iз сингулярними коефiцiєнтами. Проте у деяких задачах теорiї диференцiальних рiвнянь використовуються не лише простори цiлої гладкостi, а й простори, де показником гладкостi може бути i дробове число. Простори Гельдера та простори Соболєва-Слободецького є найвiдомiшi серед них. Зважаючи на це, є актуальним дослiдження найбiльш загальних крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь перших порядкiв у просторах Соболєва-Слободецького Ws p , де s (1,)\N, 1 p < , зокрема питання про необхiднi i достатнi умови неперервної залежностi за параметром розв’язкiв цих задач. Необхiдно зазначити, що такi задачi можуть мiстити в крайових умовах похiднi цiлого та/чи дробового порядку бiльшого за порядок рiвняння, тому вони мають iстотнi особливостi, що вiдсутнi у класичних задачах (Кошi, дво- та багатоточкових, iнтегральних та мiшаних задачах). Дисертацiя складається з анотацiй українською та англiйською мовами, перелiку умовних позначень, вступу, трьох роздiлiв основної частини, висновкiв, списку використаних джерел i додатку. У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми дослiдження, сформульовано мету, об’єкт, предмет, завдання i методи дослiдження, зазначено наукову новизну отриманих результатiв, їх практичне значення, зв’язок роботи з науковими темами й особистий внесок здобувача, вказано, де було апробовано та опублiковано результати дисертацiї. У першому роздiлi обговорено об’єкт i предмет, наведено огляд лiтератури за тематикою дисертацiйного дослiдження. Об’єктом дослiдження є одновимiрнi фредгольмовi крайовi задачi, найбiльш загальнi щодо просторiв Соболєва-Слободецького, а предметом — характер залежностi за параметром розв’язкiв цих задач у вiдповiдних нормованих просторах. У другому роздiлi дослiджено найбiльш загальнi крайовi задачi та найбiльш загальнi багатоточковi крайовi задачi для системи m звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку, розв’язки яких пробiгають простiр Соболєва-Слободецького (Ws p ) m, де s (1,) \ N, 1 p < . Показано, що дослiджуваним крайовим задачам вiдповiдає фредгольмiв оператор з iндексом m − r на парi нормованих просторiв (Ws p ) m i (Ws−1 p ) m × C r . Доведено критерiй однозначної розв’язностi дослiджуваних крайових задач у цих просторах. Встановлено, що вимiрностi ядра i коядра оператора неоднорiдної крайової задачi дорiвнюють вiдповiдно вимiрностi ядра i коядра її характеристичної матрицi. У третьому роздiлi для крайових задач, залежних вiд малого параметра 0, встановлено конструктивний критерiй неперервностi за параметром розв’язкiв при = 0 у просторi (Ws p ) m. Показано, що похибка i нев’язка розв’язкiв цих задач мають однаковий порядок малостi при 0+ у вiдповiдних просторах Соболєва-Слободецького. Встановлено достатнi умови неперервностi за параметром розв’язкiв багатоточкової крайової задачi при = 0 у нормованому просторi (Ws p ) m у випадку s (1,) \ N, 1 p < . Додаток мiстить список публiкацiй здобувачки за темою дисертацiї та вiдомостi про апробацiю результатiв дисертацiї. Основнi результати, якi визначають наукову новизну дисертацiї: - для найбiльш загальних неоднорiдних крайових задач у просторах Соболєва-Слободецького (Ws p ) m встановлено їх нетеровiсть i знайдено iндекс; - у термiнах спецiально введеної числової характеристичної матрицi знайдено вимiрностi ядра i коядра розглянутих крайових задач; - знайдено конструктивнi достатнi умови збiжностi характеристичних матриць послiдовностi неоднорiдних крайових задач; - вперше дослiджено неперервнiсть за параметром розв’язкiв крайових задач у просторах Соболєва-Слободецького (Ws p ) m для всiх значень 1 p < . Знайдено критерiй неперервностi розв’язкiв за параметром; - доведено, що похибка i нев’язка розв’язкiв крайових задач мають однаковий порядок малостi; - отримано граничну теорему для розв’язкiв багатоточкових крайових задач у просторах Соболєва-Слободецького (Ws p ) m 1 p < . Дисертацiйна робота має теоретичний характер. Її результати та методика їх отримання можуть бути використанi у подальшому розвитку теорiї одновимiрних фредгольмових крайових задач, зокрема багатоточкових, задач iз похiдними дробового порядку. | uk |
| dc.description.abstractother | Skorobohach T. B. Fredholm boundary-value problems with a parameter in function spaces. — Qualifying scientific work on the rights of the manuscript. The thesis presented for the academic degree Doctor of Philosophy in speciality 111 – Mathematics.. National Technical University of Ukraine ”Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institut”. – Ukraine, Kyiv, 2022. The thesis is devoted to the study of the characteristics of solvability and continuity in a parameter of solutions of the most general classes of one-dimensional inhomogeneous boundary-value problems for the systems of linear ordinary differential equations of the first order in Sobolev-Slobodetskiy spaces on a finite interval. The question of the substantiation of the boundary transition with respect to Cauchy problems and general boundary-value problems has been subjected to study by a large number of mathematicians. The fundamental results on the continuous dependence with respect to the parameter of solutions of Cauchy problems for nonlinear systems were established by I. I. Gikhman (1952), M. A. Krasnosel’skii and S. G. Krein (1955), J. Kurzweil and Z. Vorel (1957), A. M. Samoilenko (1962 – 1965). The specification and supplementation of these results for linear systems was carried out by A. Yu. Levin (1967 – 1973), W. T. Reid (1967) and Nguyen Tho Hoan (1993), Z. Opial (1967). The class of linear general boundary-value problems for systems of first-order differential equations was introduced and investigated by I. T. Kiguradze (1975 – 2003) and M. Ashordia (1996). Solutions to these problems are absolutely continuous functions on the compact interval [a, b]. The conditions of continuity in a parameter of these solutions in the space C([a, b], R m) were established. V. A. Mikhailets, N. V. Reva, T. I. Kodliuk, and H. A. Chekhanova generalized the indi- cated results for complex-valued functions and linear systems of higher-order differential equations in their works. V. A. Mikhailets and his disciples (2008 –2015) introduced and studied the most common classes of boundary-value problems for linear systems of ordinary differential equations that are generic with respect to the various functional spaces, in particular to Sobolev spaces (N. V. Reva, T. I. Kodliuk, Ye. V. Gnyp), to the spaces of continuously differentiable functions (H. A. Chekhanova, V. O. Soldatov), to H¨older spaces (V. O. Soldatov, H. O. Masliuk), to SobolevSlobodetskiy spaces (Ye. V. Gnyp, H. O. Masliuk). They proved that such problems are Fredholm, obtained conditions that are sufficient for their wellposedness and continuity in the parameter of their solutions in these spaces. For the most general boundary-value problems for systems of differential equations of the first order, sufficient conditions of continuous dependence in the parameter of their solutions in Sobolev space Wn p , with 1 p < were found by T. I. Kodliuk and V. A. Mikhailets (2010). The case p = was considered in the paper of A. M. Atlasiuk and V. A. Mikhailets [2]. The constructive criterion of continuity in a parameter of solutions of the most general boundary-value problems for systems of differential equations of the first order was proved by V. A. Mikhailets, A. A. Murach, V. O. Soldatov (2016) in Ho ?lder spaces and Ye. V. Gnyp, V. A. Mikhailets (2016) in Sobolev-Slobodetskiy spaces. For higher-order systems, the indicated criterion was proved with respect to spaces of complete smoothness continuously differentiated functions (A. A. Murach, V. O. Soldatov) and Sobolev (Ye. V. Gnyp, V. A. Mikhailets, A. A. Murach). The above results have been applied to study multipoint boundary- value problems, Green’s matrices and have been applied to the spectral theory of differential operators with singular coefficients. However, in some problems of the theory of differential equations, not only the spaces of complete smoothness are applied, but also spaces where the smoothness index can be a fractional number. The most well-known among them are Ho ?lder’s and Sobolev-Slobodetskiy spaces. Therefore, in connection with the above, it is important to study the most general boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of the first order with respect to Sobolev-Slobodetskiy spaces Ws p , with 1 p < , in particular, the question of the necessary and sufficient conditions of continuous dependence in the parameter of solutions to these problems. It should be noted that the most general problems may contain derivatives of integer and fractional order in boundary conditions. Therefore they have significant specificities that are absent in classical problems (Cauchy, two- and multipoint, integral and mixed problems). Considering the above„ the systematic study of their properties is of scientific interest. The thesis consists of the annotation in Ukrainian and in English, list of symbols, introduction, three sections of its main part, conclusions, the list of references, and appendix. The introduction substantiates the relevance of the research topic, formulates the purpose, object, subject, tasks and methods of the research, outlines the scientific novelty of the results obtained, their practical significance, the connection of the work with scientific programs and the personal contribution of the applicant, and also points out where the results of the dissertation have been discussed and published. In the first section, the object, subject are discussed, a review of the literature on the theme of the dissertation research is indicated. The object of research is one-dimensional Fredholm boundary-value problems, generic with respect to Sobolev-Slobodetskiy spaces. The subject of research covers the character of the continuity in the parameter of solutions to these problems in the corresponding normed spaces. In the second section, the most general boundary-value problems and the most general multipoint boundary-value problems for system of m ordinary differential equations of the first order whose solutions run through Sobolev-Slobodetskiy space (Ws p ) m, with 1 p < are investigated. It is shown that these problems correspond to the the Fredholm operator with the index m − r on a pair of normalized spaces (Ws p ) m, and (Ws−1 p ) m × C r . The criterion of well-posedness of these boundary-value problems in these spaces is proved. It is proved that the dimensions of the kernel and cokernel of the operator of boundary-value problem are equal to the dimensions of the kernel and cokernel of the characteristic matrix of the boundary-value problem, respectively. In the third section, for the generic boundary-value problems depending on a small parameter 0, the constructive criterion of continuity in the parameter of solutions at = 0 in the space (Ws p ) m is established. It is shown that the error and discrepancy of the solutions to boundary-value problems have the same order of smallness for 0+ in the corresponding Sobolev-Slobodetskiy spaces. Sufficient conditions of continuity in the parameter of solutions to multipoint boundary-value problem at = 0 in normalized space (Ws p ) m in case 1 p < are established. The appendix contains a list of the applicant’s publications on the topic of the thesis and information on the approbation of the dissertation results. The main results that determine the scientific novelty of the thesis: - for the generic boundary-value problems in the Sobolev-Slobodetskiy spaces (Ws p ) m their Fredholm property is established and the index is found; - in terms of a specially introduced numerical characteristic matrix, the dimensions of the kernel and cokernel of the considered boundary-value problems are found; - constructive sufficient conditions for convergence of characteristic matrices of a sequence of inhomogeneous boundary-value problems are found; - for the first time the continuity in the parameter of solutions of boundaryvalue problems in Sobolev-Slobodetskiy spaces (Ws p ) m is investigated for all values 1 p < . The criterion of continuity of solutions in a parameter is found; - it is proved that the error and discrepancy of the solutions to boundaryvalue problems have the same order of smallness; - the limit theorems for solutions to multipoint boundary-value problems in Sobolev-Slobodetskiy spaces (Ws p ) m with 1 p < . Thesis is a theoretical investigation. Its results and the method for the obtaining of these results can be used in the further development of the theory of one-dimensional Fredholm boundary-value problems, in particular multipoint problems, and problems with derivatives of fractional order. | uk |
| dc.format.extent | 117 с. | uk |
| dc.identifier.citation | Скоробогач, Т. Б. Фредгольмовi крайовi задачi з параметром у функцiональних просторах : дис. … д-ра філософії : 111 – Математика / Скоробогач Тетяна Богданiвна. – Київ, 2022. – 117 с. | uk |
| dc.identifier.uri | https://ela.kpi.ua/handle/123456789/54515 | |
| dc.language.iso | uk | uk |
| dc.publisher | КПІ ім. Ігоря Сікорського | uk |
| dc.publisher.place | Київ | uk |
| dc.subject | система диференцiальних рiвнянь | uk |
| dc.subject | крайова задача | uk |
| dc.subject | простiр Соболєва-Слободецького | uk |
| dc.subject | фредгольмiв оператор | uk |
| dc.subject | неперервнiсть за параметром | uk |
| dc.subject | багатоточкова крайова задача | uk |
| dc.subject | характеристична матриця | uk |
| dc.subject | system of differential equations | uk |
| dc.subject | boundary-value problem | uk |
| dc.subject | Sobolev-Slobodetskiy space | uk |
| dc.subject | Fredholm operator | uk |
| dc.subject | continuity in a parameter | uk |
| dc.subject | multipoint boundary-value problem | uk |
| dc.subject | characteristic matrix | uk |
| dc.subject.udc | 517.927 | uk |
| dc.title | Фредгольмовi крайовi задачi з параметром у функцiональних просторах | uk |
| dc.type | Thesis Doctoral | uk |
Файли
Контейнер файлів
1 - 1 з 1
Вантажиться...
- Назва:
- Skorobohach_dys.pdf
- Розмір:
- 687.38 KB
- Формат:
- Adobe Portable Document Format
- Опис:
Ліцензійна угода
1 - 1 з 1
Ескіз недоступний
- Назва:
- license.txt
- Розмір:
- 9.1 KB
- Формат:
- Item-specific license agreed upon to submission
- Опис: