Новi типи атракторiв в неiдеальних динамiчних системах
Вантажиться...
Дата
2023
Автори
Науковий керівник
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
КПІ ім. Ігоря Сікорського
Анотація
Дисертацiя присвячена дослiдженню регулярних та хаотичних граничних множин двох неiдеальних за Зоммерфельдом-Кононенком динамiчних
систем: «LC-генератор – п’єзокерамiчний випромiнювач» та «сферичний маятник – електродвигун».
Одним iз найважливiших елементiв сучасного навiгацiйного обладнання є п’єзокерамiчнi випромiнювачi. Рiзнi види таких випромiнювачiв широко використовується в глибиномiрах, далекомiрах, приладах для сканування
пiдводного середовища, системах прийому та передачi iнформацiї пiд водою.
Останнiм часом, приладом для збудження коливань п’єзокерамiчного випромiнювача є електроламповi LC-генератори. Це пов’язано з вiдродженням
аналогових генераторiв, що дозволяє значно пiдвищити метереологiчнi характеристики вихiдних сигналiв у порiвняннi з цифровими пристроями.
Маятниковi системи є надзвичайно простими за своєю фiзичною природою i дозволяють проводити фiзичнi експеременти, що пiдтверджують
або спростовують теоретично встановленi коливальнi властивостi. Попри це,
цiкавiсть до вивчення рiзних аспектiв динамiчної поведiнки маятникових систем загалом обумовлена тим фактом, що багато властивостей, вперше знайдених для маятникових систем, згодом були вiдкритi й в iнших системах
iз значно складнiшою фiзичною природою. Зокрема, для таких систем як
кiльця, оболонки, пластини, резервуари, частково заповненi рiдиною, тощо.
Будь-яка коливальна система, незважаючи на величезну рiзноманiтнiсть таких систем, насправдi, складається з двох основних
елементiв. Перший елемент – безпосередньо коливальна система, а другий –
будь-яке джерело збудження коливань. Все рiзноманiття iснуючих коливальних динамiчних систем можна роздiлити на два класи. Iдеальнi коливальнi
динамiчнi системи, що розумiються як системи в яких джерело збудження
коливань має потужнiсть, що значно перевищує потужнiсть з якою коливальна система споживає енергiю. У свою чергу, системи в яких потужнiсть,
споживана коливальним навантаженням є порiвняною з потужнiстю джерела збудження зараз називають неiдеальними за Зоммерфельдом (1902)
Кононенком (1964), або системами з обмеженим збудженням. В останньому
випадку робота джерела енергiї залежить вiд режиму коливального навантаження, а вплив джерела не може бути виражено як заздалегiдь визначену
явну функцiю часу. Тодi як при традицiйному математичному моделюваннi
коливальної системи розглядаються iдеалiзованi джерела збудження необмеженої потужностi. У багатьох випадках "iдеальний" пiдхiд у коренi
неправильний, що на практицi призводить до значних помилок в описi
динамiки як коливальної системи, так i джерела збудження. У реальних
системах невiдповiднiсть очiкуваної та реальної поведiнки може призвести
до катастрофи.
Вивченням системи «LC-генератор – п’єзокерамiчний випромiнювач»
займались Т. Краснопольска, О. Швець (1990-1993, 2007-2009), В. Печерний, Ж. Балтазар, Р. Бразiл, Дж. Паласiос Фелiкс та iн. (2007-2011). Ними було виведено математичну модель неiдеальної системи «LC-генератор
– п’єзокерамiчний випромiнювач» та виявлено деякi усталенi граничнi множини. Зокрема, положення рiвноваги, хаотичнi та гiперхаотичнi атрактори.
Було встановлено, що iснування детермiновано хаосу можливо лише при врахуваннi нелiнiйної взаємодiї генератора та випромiнювача.
Чiльне мiсце у дослiдженнях резонанчних коливань сферичного маятника при iдеальному збудженнi посiдають роботи Дж. Майлза (1962, 1984). Ним були вивченi випадки вимушених та параметричних резонансiв та встановлена можливiсть iснування хаотичних режимiв коливань "iдеального"
сферичного маятника. Дослiдженя Дж. Майлза були уточненi й продовженi
у роботах Т. Краснопольскої, О. Швеця, В. Печерного та iн. (1990-1994, 2007-
2011). У цих роботах було виведено математичну модель неiдеальної системи
«сферичний маятник – електродвигун», де було враховано нелiнiйну взаємодiю мiж маятником та джерелом збудження його коливань - електродвигуном обмеженої потужностi. Крiм того, було виявлено новi типи хаотичних
атракторiв такої системи i описано новий сценарiй переходу до хаосу, так
звана, узагальнена перемiжнiсть.
Дисертацiя складається з анотацiй українською та англiйською мовами,
вступу, чотирьох роздiлiв основної частини, висновкiв, списку використаних
джерел i додатку.
У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми дослiдження, сформульовано мету, об’єкт, предмет, завдання i методи дослiдження, зазначено наукову
новизну отриманих результатiв, їх практичне значення, зв’язок роботи з науковими темами й особистий внесок здобувача, вказано, де було апробовано
та опублiковано результати дисертацiї.
У першому роздiлi проведено детальний огляд розвитку дослiджень iз
нелiнiйної динамiки та теорiї динамiчних систем. Висвiтлено сучасний стан
дослiджень хаотичної динамiки в коливальних системах iз обмеженим збудженням. Наведено деякi необхiднi теоретичнi вiдомостi та результати попередникiв, якi використовуються в дисертацiйнiй роботi.
У другому роздiлi наведено основнi поняття з теорiї динамiчних систем,
розглянуто загальнi пiдходи та методи дослiдження хаотичної динамiки коливальних систем.
У третьому роздiлi було проведено дослiдження системи «LC-генератор
– п’єзокерамiчний випромiнювач». Для системи побудовано карту динамiчних
режимiв на якiй виявлено всi можливi типи граничних множин, якi можуть бути притаманнi чотирьохвимiрнiй системi диференцiальних рiвнянь. Виявлено атипове чергування сценарiїв Фейгенбаума та Манневiлля-Помо при переходах вiд регулярних до хаотичних атракторiв. Знайдено значення параметрiв за яких у системi спiвiснують два атрактори. Для знайдених атракторiв побудавно проєкцiї фазових портретiв, фазо-параметричнi характеристики та перерiз Пуанкаре. Вперше було проведено класифiкацiю iснуючих
атракторiв у термiнах прихованостi, рiдкiсностi та самозбудженостi. Проаналiзовано вплив запiзнення на зазначену класифiкацiю.
У четвертому роздiлi було проведено дослiдження системи «сферичний
маятник – електродвигун». Для системи знайдено та побудовано як iзольованi
та i неiзольованi положення рiвноваги. Доведено теореми про стiйкiсть
iзольованого положення рiвноваги та iснування сiмейства неiзольованих положень рiвноваги. Показано, що неiзольоване сiмейство положень рiвноваги
може володiти притягувальними властивостями, що спонукало узагальнити поняттям «атрактор» для системи, що розглядається, поняттям «максимальний атрактор». Знайдено iншi типи максимальних атракторiв, зокрема
перiодичнi та хаотичнi. Для знайдених максимальних атракторiв побудовано
проєкцiї фазових портретiв, фазо-параметричнi характеристики та розподiл
природної iнварiантної мiри. Показано, що незважаючи на те, що максимальнi атрактори не є атракторами в традицiйному розумiннi цього термiну,
перехiд до хаосу максимальних атракторiв вiдбувається за сценарiями, що
є аналогiчними до сценарiїв переходу до хаосу притаманним "класичним"
атракторам.
Додаток мiстить список публiкацiй здобувача за темою дисертацiї та
вiдомостi про апробацiю результатiв дисертацiї.
Основнi результати, якi визначають наукову новизну дисертацiї. Для
системи «генератор – п’єзокерамiчний випромiнювач»:
1. Виявлено нетипове чергування сценарiїв Фейгенбаума та Манневiлля-Помо при переходах вiд регулярних режимiв до хаотичних.
2. Знайдено значення параметрiв за яких у системi спiвiснують два атрактори один iз яких розташований в областi локалiзацiї iншого.
3. Встановлено спiвiснування таких усталених режимiв: квазiперiодичний
i перiодичний; перiодичний i перiодичний; хаотичний i перiодичний.
4. Проведено iдетифiкацiю спiвiснуючих атракторiв цiєї системи в
термiнах «рiдкiсностi» та «прихованостi».
5. Проаналiзовано вплив запiзнення на класифiкацiю спiвiснуючих атракторiв у термiнах «рiдкiсностi» та «прихованостi».
Для системи «сферичний маятник – електродвигун»:
1. Знайдено iзольованi та неiзольованi положення рiвноваги.
2. Знайдено регулярнi та нерегулярнi сiмейства неiзольованих граничних
множин, що володiють притягувальними властивостями.
3. Показано, що сiмейства неiзольованих граничних множин, що володiють притягувальними властивостями, не є атракторами в "класичному" розумiннi, але вiдповiдають означенню максимального атрактора.
4. Встановлено, що сценарiї переходу до хаосу максимальних атракторiв
вiдбувається за сценарiями, що є аналогiчними до сценарiїв переходу
до хаосу притаманним "класичним" атракторам.
5. Доведено теореми про стiйкiсть iзольованого положення рiвноваги та
iснування сiмейства неiзольованих положень рiвноваги.
Опис
Ключові слова
асимптотичнi розв’язки, усталенi режими, система диференцiальних рiвнянь, неiдеальна динамiчна система, система з обмеженим збудженням, ефект Зоммерфельда Кононенка, множина граничних точок, детермiнований хаос, регулярний атрактор, хаотичний атрактор, рiдкiсний атрактор, прихований атрактор, максимальний атрактор, system of differential equations, nonideal dynamical system, system with limited excitation, Sommerfeld–Kononenko effect, set of limit points, deterministic chaos, regular attractor, chaotic attractor, rare attractor, hidden attractor, maximal attractor, asymptotic solutions, steady-state regimes
Бібліографічний опис
Донецький, С. В. Новi типи атракторiв в неiдеальних динамiчних системах : дис. … д-ра філософії : 111 Математика / Донецький Сергiй Вiкторович. – Київ, 2023. – 124 с.