Новi типи атракторiв в неiдеальних динамiчних системах
| dc.contributor.advisor | Швець, Олександр Юрiйович | |
| dc.contributor.author | Донецький, Сергiй Вiкторович | |
| dc.date.accessioned | 2023-12-18T09:15:17Z | |
| dc.date.available | 2023-12-18T09:15:17Z | |
| dc.date.issued | 2023 | |
| dc.description.abstract | Дисертацiя присвячена дослiдженню регулярних та хаотичних граничних множин двох неiдеальних за Зоммерфельдом-Кононенком динамiчних систем: «LC-генератор – п’єзокерамiчний випромiнювач» та «сферичний маятник – електродвигун». Одним iз найважливiших елементiв сучасного навiгацiйного обладнання є п’єзокерамiчнi випромiнювачi. Рiзнi види таких випромiнювачiв широко використовується в глибиномiрах, далекомiрах, приладах для сканування пiдводного середовища, системах прийому та передачi iнформацiї пiд водою. Останнiм часом, приладом для збудження коливань п’єзокерамiчного випромiнювача є електроламповi LC-генератори. Це пов’язано з вiдродженням аналогових генераторiв, що дозволяє значно пiдвищити метереологiчнi характеристики вихiдних сигналiв у порiвняннi з цифровими пристроями. Маятниковi системи є надзвичайно простими за своєю фiзичною природою i дозволяють проводити фiзичнi експеременти, що пiдтверджують або спростовують теоретично встановленi коливальнi властивостi. Попри це, цiкавiсть до вивчення рiзних аспектiв динамiчної поведiнки маятникових систем загалом обумовлена тим фактом, що багато властивостей, вперше знайдених для маятникових систем, згодом були вiдкритi й в iнших системах iз значно складнiшою фiзичною природою. Зокрема, для таких систем як кiльця, оболонки, пластини, резервуари, частково заповненi рiдиною, тощо. Будь-яка коливальна система, незважаючи на величезну рiзноманiтнiсть таких систем, насправдi, складається з двох основних елементiв. Перший елемент – безпосередньо коливальна система, а другий – будь-яке джерело збудження коливань. Все рiзноманiття iснуючих коливальних динамiчних систем можна роздiлити на два класи. Iдеальнi коливальнi динамiчнi системи, що розумiються як системи в яких джерело збудження коливань має потужнiсть, що значно перевищує потужнiсть з якою коливальна система споживає енергiю. У свою чергу, системи в яких потужнiсть, споживана коливальним навантаженням є порiвняною з потужнiстю джерела збудження зараз називають неiдеальними за Зоммерфельдом (1902) Кононенком (1964), або системами з обмеженим збудженням. В останньому випадку робота джерела енергiї залежить вiд режиму коливального навантаження, а вплив джерела не може бути виражено як заздалегiдь визначену явну функцiю часу. Тодi як при традицiйному математичному моделюваннi коливальної системи розглядаються iдеалiзованi джерела збудження необмеженої потужностi. У багатьох випадках "iдеальний" пiдхiд у коренi неправильний, що на практицi призводить до значних помилок в описi динамiки як коливальної системи, так i джерела збудження. У реальних системах невiдповiднiсть очiкуваної та реальної поведiнки може призвести до катастрофи. Вивченням системи «LC-генератор – п’єзокерамiчний випромiнювач» займались Т. Краснопольска, О. Швець (1990-1993, 2007-2009), В. Печерний, Ж. Балтазар, Р. Бразiл, Дж. Паласiос Фелiкс та iн. (2007-2011). Ними було виведено математичну модель неiдеальної системи «LC-генератор – п’єзокерамiчний випромiнювач» та виявлено деякi усталенi граничнi множини. Зокрема, положення рiвноваги, хаотичнi та гiперхаотичнi атрактори. Було встановлено, що iснування детермiновано хаосу можливо лише при врахуваннi нелiнiйної взаємодiї генератора та випромiнювача. Чiльне мiсце у дослiдженнях резонанчних коливань сферичного маятника при iдеальному збудженнi посiдають роботи Дж. Майлза (1962, 1984). Ним були вивченi випадки вимушених та параметричних резонансiв та встановлена можливiсть iснування хаотичних режимiв коливань "iдеального" сферичного маятника. Дослiдженя Дж. Майлза були уточненi й продовженi у роботах Т. Краснопольскої, О. Швеця, В. Печерного та iн. (1990-1994, 2007- 2011). У цих роботах було виведено математичну модель неiдеальної системи «сферичний маятник – електродвигун», де було враховано нелiнiйну взаємодiю мiж маятником та джерелом збудження його коливань - електродвигуном обмеженої потужностi. Крiм того, було виявлено новi типи хаотичних атракторiв такої системи i описано новий сценарiй переходу до хаосу, так звана, узагальнена перемiжнiсть. Дисертацiя складається з анотацiй українською та англiйською мовами, вступу, чотирьох роздiлiв основної частини, висновкiв, списку використаних джерел i додатку. У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми дослiдження, сформульовано мету, об’єкт, предмет, завдання i методи дослiдження, зазначено наукову новизну отриманих результатiв, їх практичне значення, зв’язок роботи з науковими темами й особистий внесок здобувача, вказано, де було апробовано та опублiковано результати дисертацiї. У першому роздiлi проведено детальний огляд розвитку дослiджень iз нелiнiйної динамiки та теорiї динамiчних систем. Висвiтлено сучасний стан дослiджень хаотичної динамiки в коливальних системах iз обмеженим збудженням. Наведено деякi необхiднi теоретичнi вiдомостi та результати попередникiв, якi використовуються в дисертацiйнiй роботi. У другому роздiлi наведено основнi поняття з теорiї динамiчних систем, розглянуто загальнi пiдходи та методи дослiдження хаотичної динамiки коливальних систем. У третьому роздiлi було проведено дослiдження системи «LC-генератор – п’єзокерамiчний випромiнювач». Для системи побудовано карту динамiчних режимiв на якiй виявлено всi можливi типи граничних множин, якi можуть бути притаманнi чотирьохвимiрнiй системi диференцiальних рiвнянь. Виявлено атипове чергування сценарiїв Фейгенбаума та Манневiлля-Помо при переходах вiд регулярних до хаотичних атракторiв. Знайдено значення параметрiв за яких у системi спiвiснують два атрактори. Для знайдених атракторiв побудавно проєкцiї фазових портретiв, фазо-параметричнi характеристики та перерiз Пуанкаре. Вперше було проведено класифiкацiю iснуючих атракторiв у термiнах прихованостi, рiдкiсностi та самозбудженостi. Проаналiзовано вплив запiзнення на зазначену класифiкацiю. У четвертому роздiлi було проведено дослiдження системи «сферичний маятник – електродвигун». Для системи знайдено та побудовано як iзольованi та i неiзольованi положення рiвноваги. Доведено теореми про стiйкiсть iзольованого положення рiвноваги та iснування сiмейства неiзольованих положень рiвноваги. Показано, що неiзольоване сiмейство положень рiвноваги може володiти притягувальними властивостями, що спонукало узагальнити поняттям «атрактор» для системи, що розглядається, поняттям «максимальний атрактор». Знайдено iншi типи максимальних атракторiв, зокрема перiодичнi та хаотичнi. Для знайдених максимальних атракторiв побудовано проєкцiї фазових портретiв, фазо-параметричнi характеристики та розподiл природної iнварiантної мiри. Показано, що незважаючи на те, що максимальнi атрактори не є атракторами в традицiйному розумiннi цього термiну, перехiд до хаосу максимальних атракторiв вiдбувається за сценарiями, що є аналогiчними до сценарiїв переходу до хаосу притаманним "класичним" атракторам. Додаток мiстить список публiкацiй здобувача за темою дисертацiї та вiдомостi про апробацiю результатiв дисертацiї. Основнi результати, якi визначають наукову новизну дисертацiї. Для системи «генератор – п’єзокерамiчний випромiнювач»: 1. Виявлено нетипове чергування сценарiїв Фейгенбаума та Манневiлля-Помо при переходах вiд регулярних режимiв до хаотичних. 2. Знайдено значення параметрiв за яких у системi спiвiснують два атрактори один iз яких розташований в областi локалiзацiї iншого. 3. Встановлено спiвiснування таких усталених режимiв: квазiперiодичний i перiодичний; перiодичний i перiодичний; хаотичний i перiодичний. 4. Проведено iдетифiкацiю спiвiснуючих атракторiв цiєї системи в термiнах «рiдкiсностi» та «прихованостi». 5. Проаналiзовано вплив запiзнення на класифiкацiю спiвiснуючих атракторiв у термiнах «рiдкiсностi» та «прихованостi». Для системи «сферичний маятник – електродвигун»: 1. Знайдено iзольованi та неiзольованi положення рiвноваги. 2. Знайдено регулярнi та нерегулярнi сiмейства неiзольованих граничних множин, що володiють притягувальними властивостями. 3. Показано, що сiмейства неiзольованих граничних множин, що володiють притягувальними властивостями, не є атракторами в "класичному" розумiннi, але вiдповiдають означенню максимального атрактора. 4. Встановлено, що сценарiї переходу до хаосу максимальних атракторiв вiдбувається за сценарiями, що є аналогiчними до сценарiїв переходу до хаосу притаманним "класичним" атракторам. 5. Доведено теореми про стiйкiсть iзольованого положення рiвноваги та iснування сiмейства неiзольованих положень рiвноваги. | uk |
| dc.description.abstractother | The thesis is devoted to the study of limit sets of two nonideal according to Sommerfeld-Kononenko dynamic systems: the «LC-generator - piezoceramic transducer» system and the «spherical pendulum - electric motor» system. Piezoceramic transducers are considered to be one of the most important components in modern navigation equipment. They are widely used in various applications such as depth gauges, rangefinders, underwater scanning devices, and underwater information transmission systems. Recently, electrolamp LCgenerators have been used as the device for exciting the oscillations of the piezoceramic transducer. This is due to the renaissance of analog lamps, which allow significantly higher meteorological characteristics of the output signals compared to digital devices. Pendulum systems are inherently simple in their physical nature and can be used to conduct physical experiments that verify or challenge theoretically established oscillatory properties. However, the interest in studying different aspects of the dynamic behavior of pendulum systems stems from the fact that many properties initially observed in pendulum systems have been subsequently identified in other systems with significantly more complex physical characteristics. This holds true for systems such as rings, shells, plates, tanks partially filled with liquid, and so on. Any oscillating system, despite the vast variety of such systems, consists of two main elements. The first element is the oscillating system itself, and the second is any source of oscillation excitation. All the variety of existing osci-llatory dynamic systems can be divided into two classes. The first class includes ideal oscillating dynamic systems, which are understood as systems in which the source of oscillation excitation has a power that significantly exceeds the power consumed by the oscillating system. The second class consists of nonideal according to Sommerfeld (1902) and Kononenko (1964) systems or systems with limited excitation. In these systems, the power consumed by the oscillating load is comparable to the power of the excitation source. Consequently, the functioning of the energy source depends on the mode of the oscillating load, and the influence of the source cannot be expressed as a predetermined explicit function of time. In traditional mathematical modeling of an oscillating system, idealized excitation sources of unlimited power are often considered. However, this "ideal" approach is fundamentally incorrect in many cases, leading to significant errors in the description of the dynamics of both the oscillating system and the excitation source. In real systems, a mismatch between expected and actual behavior can lead to disaster. The study of the system «LC-generator – piezoceramic transducer» was conducted by T. Krasnopolska, A. Shvets (1990-1993, 2007-2009), V. Pecherny, J. Baltazar, R Brazil, J. Palacios Felix et al. (2007-2011). They developed a mathematical model for the non-ideal system and explored various aspects of it, including equilibrium positions, chaotic and hyperchaotic attractors. Their research revealed that the presence of deterministic chaos arises only when considering the nonlinear interaction between the generator and the transducer. The works of J. Miles (1962, 1984) occupy a prominent place in the research on resonant oscillations of a spherical pendulum under ideal excitation. He studied the cases of forced and parametric resonances and established the possibility of the existence of chaotic regimes of oscillations, often referred to as "ideal" spherical pendulum oscillations. The studies by J. Miles were refined and continued in the works of T. Krasnopolska, A. Shvets, V. Pecherny, and others (1990-1994, 2007- 2011). In these works, a mathematical model of the non-ideal system «spherical pendulum – electric motor» was developed, taking into account the nonlinear interaction between the pendulum and the source of oscillation excitation. The latter is an electric motor with limited power. Furthermore, new types of chaotic attractors within the system were discovered, and a novel scenario for the transition to chaos, known as the «generalized intermittency», was described. The thesis consists of the annotation in Ukrainian and in English, introduction, four sections of its main part, conclusions, the list of references, and appendix. The introduction establishes the relevance of the research topic, outlines the goal, object, subject, tasks, and research methods. It highlights the scientific novelty of the obtained results, their practical significance, the connection of the work with relevant scientific themes, and the applicant’s personal contribution. Additionally, it specifies where the dissertation results have been discussed and published. The first section provides a comprehensive overview of the evolution of research in nonlinear dynamics and the theory of dynamic systems. The current status of research on chaotic dynamics in oscillating systems with limited excitation is discussed. Essential theoretical insights and findings from earlier studies, which are utilized in the thesis, are presented. The second section introduces fundamental concepts from the theory of dynamical systems. It explores general approaches and methods for investigating the chaotic dynamics of oscillating systems. In the third section, a study of the «LC-generator – piezoceramic transducer» system is conducted. A map of dynamic regimes is built for the system, showing all possible types of limit sets that a four-dimensional system of differential equations can have. An atypical alternation between the Feigenbaum and Manneville-Pomeau scenarios during transitions from regular to chaotic attractors is observed. The parameter values for which two attractors coexist in the system have been determined. Projections of phase portraits, phaseparametric characteristics, and Poincar´e sections are presented for the identified attractors. For the first time, existing attractors are classified in terms of rare, hidden, and self-excited. The influence of delay on the aforementioned classification is analyzed. In the fourth section, a study of the «spherical pendulum – electric motor» system is conducted. Both isolated and non-isolated equilibrium positions are revealed and analyzed for the system. Theorems regarding the stability of isolated equilibrium positions and the existence of a family of non-isolated equilibrium positions are proven. The study demonstrates that a non-isolated family of equilibrium positions can exhibit attractive properties. This observation led to the extension of the concept of an "attractor" for the discussed system, termed as a "maximal attractor". Various types of maximal attractors are discovered, including periodic and chaotic ones. Phase portraits, phase-parametric characteristics, and the distribution of the natural invariant measure are generated for the identified maximum attractors. Notably, it is revealed that even though maximal attractors do not adhere to the traditional sense of the term "attractor", their transition to chaos follows scenarios analogous to those seen in the transition to chaos of "classical" attractors. The appendix contains a list of the applicant’s publications on the topic of the thesis and information on the approbation of the dissertation results. The main results that determine the scientific novelty of the thesis are as follows. For the «generator – piezoceramic transducer» system: 1. An atypical alternation of the Feigenbaum and Manneville-Pomeau scenarios during transitions from regular to chaotic regimes has been revealed. 2. The values of the parameters for which two attractors coexist in the system, with one attractor located in the area of localization of the other, have been found. 3. The coexistence of the following attractors has been established: quasiperiodic and periodic; periodic and periodic; chaotic and periodic. 4. The coexisting attractors of this system have been identified in accordance to «rare» and «hidden» classification. 5. The effect of delay on the classification of coexisting attractors in terms of «rare» and «hidden» has been analyzed. For the «spherical pendulum – electric motor» system: 1. Isolated and non-isolated equilibrium positions have been revealed. 2. Regular and chaotic families of non-isolated limit sets with attractive properties have been discovered. 3. It has been shown that families of non-isolated limit sets with attractive properties are not attractors in the "classical" sense but correspond to the definition of a maximal attractor. 4. The scenarios of transition to chaos of maximal attractors have been found to follow similar patterns as the scenarios of transition to chaos observed for "classical" attractors. 5. The theorems regarding the stability of an isolated equilibrium position and the existence of a family of non-isolated equilibrium positions have been proven. | uk |
| dc.format.extent | 124 с. | uk |
| dc.identifier.citation | Донецький, С. В. Новi типи атракторiв в неiдеальних динамiчних системах : дис. … д-ра філософії : 111 Математика / Донецький Сергiй Вiкторович. – Київ, 2023. – 124 с. | uk |
| dc.identifier.uri | https://ela.kpi.ua/handle/123456789/63169 | |
| dc.language.iso | uk | uk |
| dc.publisher | КПІ ім. Ігоря Сікорського | uk |
| dc.publisher.place | Київ | uk |
| dc.subject | асимптотичнi розв’язки | uk |
| dc.subject | усталенi режими | uk |
| dc.subject | система диференцiальних рiвнянь | uk |
| dc.subject | неiдеальна динамiчна система | uk |
| dc.subject | система з обмеженим збудженням | uk |
| dc.subject | ефект Зоммерфельда Кононенка | uk |
| dc.subject | множина граничних точок | uk |
| dc.subject | детермiнований хаос | uk |
| dc.subject | регулярний атрактор | uk |
| dc.subject | хаотичний атрактор | uk |
| dc.subject | рiдкiсний атрактор | uk |
| dc.subject | прихований атрактор | uk |
| dc.subject | максимальний атрактор | uk |
| dc.subject | system of differential equations | uk |
| dc.subject | nonideal dynamical system | uk |
| dc.subject | system with limited excitation | uk |
| dc.subject | Sommerfeld–Kononenko effect | uk |
| dc.subject | set of limit points | uk |
| dc.subject | deterministic chaos | uk |
| dc.subject | regular attractor | uk |
| dc.subject | chaotic attractor | uk |
| dc.subject | rare attractor | uk |
| dc.subject | hidden attractor | uk |
| dc.subject | maximal attractor | uk |
| dc.subject | asymptotic solutions | uk |
| dc.subject | steady-state regimes | uk |
| dc.subject.udc | 517.9, 534.1 | uk |
| dc.title | Новi типи атракторiв в неiдеальних динамiчних системах | uk |
| dc.type | Thesis Doctoral | uk |
Файли
Контейнер файлів
1 - 1 з 1
Вантажиться...
- Назва:
- Donetskyi_dys.pdf
- Розмір:
- 8.73 MB
- Формат:
- Adobe Portable Document Format
- Опис:
Ліцензійна угода
1 - 1 з 1
Ескіз недоступний
- Назва:
- license.txt
- Розмір:
- 9.1 KB
- Формат:
- Item-specific license agreed upon to submission
- Опис: