Математичне та програмне забезпечення системи наближеного розв’язання матричних диференціальних рівнянь в аналітичному вигляді
Вантажиться...
Дата
2023
Автори
Герасименко, Владислав Русланович
Науковий керівник
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
КПІ ім. Ігоря Сікорського
Анотація
Дисертацію виконано на 102 аркушах, вона містить 2 додатки та перелік посилань на використані джерела з 9 найменувань. У роботі наведено 33 рисунки та 10 таблиць.
Актуальність теми. Добре відомо, що диференціальні рівняння, а зокрема системи таких рівнянь, представляють собою надважливий клас задач, які виникають у різних розділах науки та у прикладних задачах багатьох сфер промисловості, у тому числі і військової. Існує велика кількість чисельних та точних методів для розв’язання задач, пов’язаних з диференціальними рівняннями, в тому числі і для знаходження розв’язку задачі Коші для системи з m диференціальних рівнянь. Одним з таких методів є ітеративна процедура Пікара, яка є наближеним методом, тобто таким методом, що надає розв’язок у аналітичному вигляді. На жаль, застосування цього, та інших наближених методів, як правило, обмежується ілюстративними прикладами в рамках курсів чисельних методів, адже його реалізація на практиці, і тим паче на ЕОМ, є значно ускладненою необхідністю багаторазового інтегрування потенційно неполіноміальних функцій, з цієї причини наближені методи, і зокрема метод Пікара, майже ніколи не імплементуються програмно. Саме тому розробка нових та удосконалення існуючих наближених методів для їх застосування на ЕОМ є дуже актуальною проблемою на сьогодні.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась згідно з планом науково-дослідних робіт кафедри прикладної математики Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського».
Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка математичного апарату та програмного забезпечення для наближеного розв’язання матричних диференціальних рівнянь у аналітичному вигляді.
Для досягнення вказаної мети було розв’язано такі задачі:
- систематизувати існуючі методи розв’язання задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку;
- модифікувати метод Пікара послідовних наближень для його застосування на ЕОМ, довести збіжність такої модифікації, оцінити похибку;
- спроектувати систему розв’язання матричних диференціальних рівнянь за допомогою даної модифікації на ЕОМ;
- здійснити програмну реалізацію розробленої системи, провести її тестування;
- провести експериментальні дослідження.
Об’єктом дослідження є наближені методи знаходження розв’язку систем звичайних диференціальних рівнянь.
Предметом дослідження є алгоритми методів наближеного знаходження розв’язку систем диференціальних рівнянь із заданими початковими умовами у аналітичному вигляді.
Методи дослідження. Для розв’язання поставленої задачі використовувалися такі методи: методи дійсного та функціонального аналізу (для розробки модифікації методу Пікара); методи оптимізації (для чисельного знаходження оцінки похибки); методи теорії алгоритмів та програмування (для програмної реалізації розроблених алгоритмів); методи теорії диференціальних рівнянь (для розробки математичного апарату та для проведення експериментів).
Наукова новизна одержаних результатів складається з таких положень:
- уперше представлено модифікацію методу Пікара та доведено її збіжність, яка, на відміну від існуючих, передбачає заміну підінтегральних функцій першими членами їх рядів Тейлора, що дає змогу спростити обчислення і реалізувати програмно цей метод на ЕОМ;
- удосконалено програмну реалізацію методу Пікара, яка, на відміну від існуючих, опирається на інтегрування виключно поліномів з натуральними степенями, що дає змогу реалізувати цей метод без необхідності імплементації
алгоритмів символьного інтегрування чи диференціювання, адже інтегрування поліномів є, відносно, простою операцією;
- удосконалено процедуру оцінки похибки для методу Пікара, яка відрізняються від існуючих тим, що вона опирається на чисельні методи оптимізації, що дає можливість застосовувати емпіричні методи оптимізації, які є алгоритмічно простими.
Практичне значення одержаних результатів. На основі запропонованої модифікації методу Пікара, побудовано веб-застосунок для наближеного розв’язання систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.
Апробація результатів дисертації. Основні положення й результати роботи представлено та опубліковано на конференції ПМК 2022.
Публікації.
- Лось В.М., Герасименко В.Р., Копичко С.М. (2022). Модифікований метод ітерацій для систем диференціальних рівнянь. ПМК-2022.
Опис
Ключові слова
задача Коші, диференціальні рівняння, теорема Банаха, принцип стискаючих відображень, символьне інтегрування, система диференціальних рівнянь, метод Пікара, метод Рунге-Кутта, ряд Тейлора
Бібліографічний опис
Герасименко, В. Р. Математичне та програмне забезпечення системи наближеного розв’язання матричних диференціальних рівнянь в аналітичному вигляді : магістерська дис. : 113 Прикладна математика / Герасименко Владислав Русланович. – Київ, 2023. – 132 с.