Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у багатовимірному просторі
Вантажиться...
Дата
2024
Науковий керівник
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
КПІ ім. Ігоря Сікорського
Анотація
Юськович В. К. Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у багатовимірному просторі. – Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 111 «Математика». – Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського», Київ, 2024.
У даній дисертації розглядаються багатовимірні стохастичні диференціальні рівнянь (надалі – СДР) з вінерівським шумом вигляду. Для розв’язків X наведеного СДР вивчається асимптотична поведінка майже напевно (скорочено «м.н.»), коли час прямує до нескінченності. Ми вивчаємо асимптотичну поведінку розв’язку багатовимірного СДР з допомогою двох складових: поведінки норми X та поведінки багатовимірного полярного кута. Зокрема, детально розглянуто випадок, коли коефіцієнт зносу a має деяку степеневу асимптотику, а коефіцієнт дифузії b обмежений деякою степеневою функцією. У дисертації ми наводимо достатні умови, в термінах коефіцієнтів a та b, того, що норма розв’язку прямує до нескінченності, кут розв’язку стабілізується (існує границя процесу, коли час прямує до нескінченності, м.н.) та асимптотика норми розв’язку є деякою степеневою функцією (можливо, залежною від граничного кута), що має вигляд, схожий на асимптотику розв’язку x звичайного диференціального рівняння. Для доведення прямування норми розв’язку до нескінченності ми використовуємо теорію функцій Ляпунова у випадку неавтономних СДР з випадковими коефіцієнтами. Для дослідження асимптотики одновимірних СДР отримано апріорні асимптотичні оцінки для інтегралів Лебега з випадковою підінтегральною функцією та для стохастичних інтегралів. На момент початку роботи над цією дисертацією питання асимптотичної поведінки розв’язків СДР у багатовимірному просторі було недостатньо добре досліджене. Багатовимірні СДР можуть бути корисними в астрономії. Зокрема, за допомогою двовимірних та тривимірних СДР можна моделювати траєкторії руху космічних тіл та передбачати їх майбутню еволюцію для віддалених моментів часу. Також задача про асимптотичну поведінку СДР природно виникає в задачах регуляризації малим шумом динамічних систем в околі особливих точок. Крім дослідження багатовимірних СДР, ми також розглядаємо одновимірні СДР з вінерівським і компенсованим пуассонівським шумом вигляду та вивчаємо щодо них схожі задачі. СДР зі стрибками можуть бути корисними для моделювання випадкових процесів у страховій сфері. Наприклад, випадковий процес, що моделює грошові потоки страхової компанії, має стрибки в ті моменти, коли відбуваються страхові випадки, тому результати дисертації щодо СДР зі стрибками можуть бути корисними для дослідження поведінки таких процесів для віддалених моментів часу. Питання про м.н. асимптотичну поведінку розв’язків СДР зі стрибками майже не досліджене в літературі. Аналогічно багатовимірному випадку, ми накладаємо умови еквівалентності степеневій функції для коефіцієнту зносу a та умови обмеженості степеневою функцією для коефіцієнтів шуму b та c. Для розв’язків СДР зі стрибками досліджено асимптотику зростання майже напевно, коли час прямує до нескінченності. Знайдено умови, які гарантують, м.н., а також достатні умови, що забезпечують еквівалентність , де x – розв’язок незбуреного звичайного диференціального рівняння. Основна теоретична частина дисертації складається з чотирьох розділів, кожен з яких складається з секції та, за потреби, підсекцій. Наприкінці кожного розділу сформульовано висновки. Розділ 1 дисертації є підготовчим для подальшого дослідження асимптотичної поведінки розв’язків СДР. У цьому розділі ми отримуємо умови прямування до нуля м.н. деяких типів випадкових процесів. Організований розділ 1 так: спочатку ми доводимо загальну достатню умову нескінченної малості м.н. для випадкових процесів, а потім використовуємо її для оцінювання порядку зростання інтегралів від випадкових процесів, субмартингалів та стохастичних інтегралів. У першій секції ми встановлюємо достатню умову того, що випадковий процес прямує до нуля майже напевно. У другій секції ми отримуємо асимптотичні оцінки інтегралів Лебега від випадкових процесів, а саме доводимо одну теорему, яка оцінює швидкість зростання таких інтегралів. У третій секції ми доводимо загальну теорему про асимптотичну поведінку субмартингалів, якою в подальшому користуватимемося для оцінювання швидкості зростання стохастичних інтегралів зі змінною верхньою межею. У четвертій секції ми знаходимо асимптотичні оцінки інтегралів Іто за вінерівським процесом як наслідок теореми третьої секції. У п’ятій секції ми знаходимо асимптотичні оцінки стохастичних інтегралів за компенсованою пуассонівською мірою, використовуючи теорему третьої секції; доведення результатів цієї секції схожі на відповідні результати з секції про асимптотичні оцінки інтегралів за вінерівським процесом. У шостій секції ми знаходимо асимптотичні оцінки інтегралів за процесами Леві. У розділі 2 ми досліджуємо одновимірні СДР зі стрибками. У таких рівняннях, окрім зсуву та дифузії, присутній стрибкоподібний доданок, що є стохастичним інтегралом за компенсованою пуассонівською мірою. У цьому розділі ми наводимо достатні умови існування степеневої асимптотики розв’язків таких СДР у випадку, коли зсув має деяку степеневу асимптотику, а шум (дифузія та стрибки) обмежений деякою степеневою функцією. У першій секції ми розглядаємо приклади СДР, що містять стохастичний диференціал за процесом Пуассона, та які можна розв’язати явно. У другій секції ми знаходимо асимптотику процесів Іто зі стрибками у випадку, коли коефіцієнт зносу має додатну границю, коли час прямує до нескінченності, а характеристики шуму зростають «не дуже» швидко. У третій секції ми наводимо деякі прості достатні умови, що гарантують прямування до нескінченності (транзієнтність) м.н. розв’язків СДР зі стрибками. У четвертій секції ми розглядаємо СДР зі стрибками, коефіцієнти яких у певному розумінні є степеневими, а саме зсув еквівалентний деякій степеневій функції, а характеристики шуму мають не більш ніж деяке степеневе зростання. У розділі 3 ми досліджуємо асимптотику розв’язків класичних СДР (з вінерівським шумом). У першій секції ми, використовуючи асимптотичні оцінки, отримуємо відомі результати щодо асимптотичної поведінки розв’язків СДР Орнштейна–Уленбека та СДР геометричного броунівського руху. У другій секції ми знаходимо умови виходу розв’язків СДР з деякого відрізка та оцінюємо імовірності виходу розв’язків через лівий та правий кінці відрізка. У третій секції ми знаходимо достатні умови прямування розв’язку СДР до нескінченності майже напевно; для цього ми використовуємо теорію функцій Ляпунова, розроблену в другій секції. Результати другої та третьої секцій узагальнюють теорію гармонічних функцій (шкал) для дослідження асимптотичної поведінки розв’язків неавтономних СДР. У четвертій секції ми отримуємо теорему про асимптотику розв’язків СДР з вінерівським шумом, що є наслідком більш загального результату, отриманого у секції 2 розділу 4 для СДР зі стрибками. У розділі 4 ми отримуємо результати щодо асимптотичної поведінки розв’язків багатовимірних СДР. У першій секції ми переходимо до сферичної системи координат, тобто переходимо від одного багатовимірного СДР до системи двох СДР: для процесу норми та процесу кута. У першій підсекції ми вводимо поняття радіальної та тангенціальної компонент матричного поля та досліджуємо їхні властивості. У другій підсекції ми виводимо СДР для процесу норми, використовуючи багатовимірну формулу Іто. У третій підсекції ми за допомогою формули Іто отримуємо багатовимірне СДР для процесу кута. У другій секції ми досліджуємо граничну поведінку норми розв’язку, використовуючи результати розділу 3. У підсекції 1 ми формулюємо достатні умови непотрапляння розв’язку в початок координат м.н. У другій підсекції ми формулюємо достатні умови прямування розв’язку до нескінченності (транзієнтності) м.н. У третій секції ми доводимо допоміжний результат про нижню степеневу асимптотику процесу норми, що буде необхідний та доведення стабілізації процесу кута. У четвертій секції ми формулюємо та доводимо загальну теорему про стабілізацію процесу кута у сферичній системі координат, після чого застосовуємо цю теорему до дослідження стабілізацію кута розв’язку у декартовій системі координат. У п’ятій секції ми розглядаємо систему СДР у сферичній системі координат та наводимо достатні умови, що гарантують існування степеневої асимптотики для процесу радіуса.
Опис
Ключові слова
стохастичне диференціальне рівняння, асимптотична поведінка стохастичних систем, асимптотична еквівалентність, степенева асимптотика, функції Ляпунова, stochastic differential equation, asymptotic behavior of stochastic systems, asymptotic equivalence, power-law asymptotics, Lyapunov functions
Бібліографічний опис
Юськович, В. К. Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у багатовимірному просторі : дис. … д-ра філософії : 111 Математика / Юськович Віктор Костянтинович. – Київ, 2024. – 125 с.