Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у багатовимірному просторі
| dc.contributor.advisor | Пилипенко, Андрій Юрійович | |
| dc.contributor.author | Юськович, Віктор Костянтинович | |
| dc.date.accessioned | 2024-08-22T13:57:59Z | |
| dc.date.available | 2024-08-22T13:57:59Z | |
| dc.date.issued | 2024 | |
| dc.description.abstract | Юськович В. К. Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у багатовимірному просторі. – Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 111 «Математика». – Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського», Київ, 2024. У даній дисертації розглядаються багатовимірні стохастичні диференціальні рівнянь (надалі – СДР) з вінерівським шумом вигляду. Для розв’язків X наведеного СДР вивчається асимптотична поведінка майже напевно (скорочено «м.н.»), коли час прямує до нескінченності. Ми вивчаємо асимптотичну поведінку розв’язку багатовимірного СДР з допомогою двох складових: поведінки норми X та поведінки багатовимірного полярного кута. Зокрема, детально розглянуто випадок, коли коефіцієнт зносу a має деяку степеневу асимптотику, а коефіцієнт дифузії b обмежений деякою степеневою функцією. У дисертації ми наводимо достатні умови, в термінах коефіцієнтів a та b, того, що норма розв’язку прямує до нескінченності, кут розв’язку стабілізується (існує границя процесу, коли час прямує до нескінченності, м.н.) та асимптотика норми розв’язку є деякою степеневою функцією (можливо, залежною від граничного кута), що має вигляд, схожий на асимптотику розв’язку x звичайного диференціального рівняння. Для доведення прямування норми розв’язку до нескінченності ми використовуємо теорію функцій Ляпунова у випадку неавтономних СДР з випадковими коефіцієнтами. Для дослідження асимптотики одновимірних СДР отримано апріорні асимптотичні оцінки для інтегралів Лебега з випадковою підінтегральною функцією та для стохастичних інтегралів. На момент початку роботи над цією дисертацією питання асимптотичної поведінки розв’язків СДР у багатовимірному просторі було недостатньо добре досліджене. Багатовимірні СДР можуть бути корисними в астрономії. Зокрема, за допомогою двовимірних та тривимірних СДР можна моделювати траєкторії руху космічних тіл та передбачати їх майбутню еволюцію для віддалених моментів часу. Також задача про асимптотичну поведінку СДР природно виникає в задачах регуляризації малим шумом динамічних систем в околі особливих точок. Крім дослідження багатовимірних СДР, ми також розглядаємо одновимірні СДР з вінерівським і компенсованим пуассонівським шумом вигляду та вивчаємо щодо них схожі задачі. СДР зі стрибками можуть бути корисними для моделювання випадкових процесів у страховій сфері. Наприклад, випадковий процес, що моделює грошові потоки страхової компанії, має стрибки в ті моменти, коли відбуваються страхові випадки, тому результати дисертації щодо СДР зі стрибками можуть бути корисними для дослідження поведінки таких процесів для віддалених моментів часу. Питання про м.н. асимптотичну поведінку розв’язків СДР зі стрибками майже не досліджене в літературі. Аналогічно багатовимірному випадку, ми накладаємо умови еквівалентності степеневій функції для коефіцієнту зносу a та умови обмеженості степеневою функцією для коефіцієнтів шуму b та c. Для розв’язків СДР зі стрибками досліджено асимптотику зростання майже напевно, коли час прямує до нескінченності. Знайдено умови, які гарантують, м.н., а також достатні умови, що забезпечують еквівалентність , де x – розв’язок незбуреного звичайного диференціального рівняння. Основна теоретична частина дисертації складається з чотирьох розділів, кожен з яких складається з секції та, за потреби, підсекцій. Наприкінці кожного розділу сформульовано висновки. Розділ 1 дисертації є підготовчим для подальшого дослідження асимптотичної поведінки розв’язків СДР. У цьому розділі ми отримуємо умови прямування до нуля м.н. деяких типів випадкових процесів. Організований розділ 1 так: спочатку ми доводимо загальну достатню умову нескінченної малості м.н. для випадкових процесів, а потім використовуємо її для оцінювання порядку зростання інтегралів від випадкових процесів, субмартингалів та стохастичних інтегралів. У першій секції ми встановлюємо достатню умову того, що випадковий процес прямує до нуля майже напевно. У другій секції ми отримуємо асимптотичні оцінки інтегралів Лебега від випадкових процесів, а саме доводимо одну теорему, яка оцінює швидкість зростання таких інтегралів. У третій секції ми доводимо загальну теорему про асимптотичну поведінку субмартингалів, якою в подальшому користуватимемося для оцінювання швидкості зростання стохастичних інтегралів зі змінною верхньою межею. У четвертій секції ми знаходимо асимптотичні оцінки інтегралів Іто за вінерівським процесом як наслідок теореми третьої секції. У п’ятій секції ми знаходимо асимптотичні оцінки стохастичних інтегралів за компенсованою пуассонівською мірою, використовуючи теорему третьої секції; доведення результатів цієї секції схожі на відповідні результати з секції про асимптотичні оцінки інтегралів за вінерівським процесом. У шостій секції ми знаходимо асимптотичні оцінки інтегралів за процесами Леві. У розділі 2 ми досліджуємо одновимірні СДР зі стрибками. У таких рівняннях, окрім зсуву та дифузії, присутній стрибкоподібний доданок, що є стохастичним інтегралом за компенсованою пуассонівською мірою. У цьому розділі ми наводимо достатні умови існування степеневої асимптотики розв’язків таких СДР у випадку, коли зсув має деяку степеневу асимптотику, а шум (дифузія та стрибки) обмежений деякою степеневою функцією. У першій секції ми розглядаємо приклади СДР, що містять стохастичний диференціал за процесом Пуассона, та які можна розв’язати явно. У другій секції ми знаходимо асимптотику процесів Іто зі стрибками у випадку, коли коефіцієнт зносу має додатну границю, коли час прямує до нескінченності, а характеристики шуму зростають «не дуже» швидко. У третій секції ми наводимо деякі прості достатні умови, що гарантують прямування до нескінченності (транзієнтність) м.н. розв’язків СДР зі стрибками. У четвертій секції ми розглядаємо СДР зі стрибками, коефіцієнти яких у певному розумінні є степеневими, а саме зсув еквівалентний деякій степеневій функції, а характеристики шуму мають не більш ніж деяке степеневе зростання. У розділі 3 ми досліджуємо асимптотику розв’язків класичних СДР (з вінерівським шумом). У першій секції ми, використовуючи асимптотичні оцінки, отримуємо відомі результати щодо асимптотичної поведінки розв’язків СДР Орнштейна–Уленбека та СДР геометричного броунівського руху. У другій секції ми знаходимо умови виходу розв’язків СДР з деякого відрізка та оцінюємо імовірності виходу розв’язків через лівий та правий кінці відрізка. У третій секції ми знаходимо достатні умови прямування розв’язку СДР до нескінченності майже напевно; для цього ми використовуємо теорію функцій Ляпунова, розроблену в другій секції. Результати другої та третьої секцій узагальнюють теорію гармонічних функцій (шкал) для дослідження асимптотичної поведінки розв’язків неавтономних СДР. У четвертій секції ми отримуємо теорему про асимптотику розв’язків СДР з вінерівським шумом, що є наслідком більш загального результату, отриманого у секції 2 розділу 4 для СДР зі стрибками. У розділі 4 ми отримуємо результати щодо асимптотичної поведінки розв’язків багатовимірних СДР. У першій секції ми переходимо до сферичної системи координат, тобто переходимо від одного багатовимірного СДР до системи двох СДР: для процесу норми та процесу кута. У першій підсекції ми вводимо поняття радіальної та тангенціальної компонент матричного поля та досліджуємо їхні властивості. У другій підсекції ми виводимо СДР для процесу норми, використовуючи багатовимірну формулу Іто. У третій підсекції ми за допомогою формули Іто отримуємо багатовимірне СДР для процесу кута. У другій секції ми досліджуємо граничну поведінку норми розв’язку, використовуючи результати розділу 3. У підсекції 1 ми формулюємо достатні умови непотрапляння розв’язку в початок координат м.н. У другій підсекції ми формулюємо достатні умови прямування розв’язку до нескінченності (транзієнтності) м.н. У третій секції ми доводимо допоміжний результат про нижню степеневу асимптотику процесу норми, що буде необхідний та доведення стабілізації процесу кута. У четвертій секції ми формулюємо та доводимо загальну теорему про стабілізацію процесу кута у сферичній системі координат, після чого застосовуємо цю теорему до дослідження стабілізацію кута розв’язку у декартовій системі координат. У п’ятій секції ми розглядаємо систему СДР у сферичній системі координат та наводимо достатні умови, що гарантують існування степеневої асимптотики для процесу радіуса. | |
| dc.description.abstractother | Yuskovych V. K. Asymptotic behavior of solutions of stochastic differential equations in multidimensional space. – Qualifying scientific work on manuscript rights. Dissertation for obtaining the scientific degree of Doctor of Philosophy in specialty 111 “Mathematics”. - National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute", Kyiv, 2024. The main results of this dissertation relate to the asymptotic behavior almost surely (abbreviated as “a.s.”), as time goes to infinity, of solutions of multidimensional stochastic differential equations (hereinafter referred to as SDE) with Wiener noise of the form dX(t) = a(X(t))dt + b(X(t))dW(t). We study the asymptotic behavior of the solution X of the multidimensional SDE with the help of two components: the behavior of the norm |X| and behavior of the angle . Consider the case when the drift coefficient a has some power-law asymptotics , and the diffusion coefficient b is bounded by some power-law function. In the dissertation, we present sufficient conditions, in terms of the coefficients a and b, such that the solution norm goes to infinity , the solution angle stabilizes (there exists the limit of as time goes to infinity a.s.) and the asymptotics of the solution norm is some power function (perhaps depending on the limit angle) having the form similar to the asymptotics of the solution x of an ordinary differential equation . To bring the solution norm to infinity, we use the theory of Lyapunov functions in the case of non-autonomous SDEs with random coefficients. To study the asymptotics of one-dimensional SDEs, a priori asymptotic estimates for Lebesgue integrals with a random integrand function and stochastic integrals were obtained. At the time of starting work on this dissertation, the issue of asymptotic behavior of SDE solutions in multidimensional space was not sufficiently well investigated. Multidimensional SDEs can be useful in astronomy. In particular, with the help of two-dimensional and three-dimensional SDEs, it is possible to model the trajectories of the movement of cosmic bodies and predict their future evolution for distant moments of time. Also, the problem of the asymptotic behavior of the SDE naturally arises in the problems of small noise regularization of dynamic systems around singular points. In addition to the study of multidimensional SDEs, we also consider onedimensional SDEs with Wiener and compensated Poisson noise of the form and study similar problems in relation to them. SDEs with jumps can be useful for simulating random processes in the insurance industry. For example, a stochastic process simulating the cash flows of an insurance company has jumps at the moments when insurance events occur, so the results of the dissertation on SDEs with jumps can be useful for studying the behavior of such processes for distant moments of time. Questions about the a.s. asymptotic behavior of SDE solutions with jumps is almost not studied in the literature. Similarly to the multidimensional case, we impose power-law equivalence conditions for the drift coefficient a and power-law boundedness conditions for the noise coefficients b and c. For SDE solutions with jumps, the asymptotic growth is investigated almost surely as time goes to infinity. We have found conditions that guarantee , a.s., as well as sufficient conditions that ensure the equivalence , a.s., where x is the solution of an unperturbed ordinary differential equation. The main theoretical part of the dissertation consists of four chapters, each of which consists of sections and, if necessary, subsections. Conclusions are formulated at the end of each chapter. Chapter 1 of the dissertation is preparatory for the further study of the asymptotic behavior of SDE solutions. In this section, we obtain the conditions for going to zero a.s. for some types of random processes. Section 1 is organized as follows: first, we prove a general sufficient condition for the infinite smallness a.s. for random processes, and then we use it to estimate the order of growth of integrals of random processes, submartingales, and stochastic integrals. In the first section, we establish a sufficient condition that the random process goes to zero almost surely. In the second section, we obtain asymptotic estimates of Lebesgue integrals of random processes, namely, we prove a theorem that estimates the rate of growth of such integrals. In the third section, we prove a general theorem on the asymptotic behavior of submartingales, which we will later use to estimate the growth rate of stochastic integrals with a variable upper bound. In the fourth section, we find the asymptotic estimates of the It integrals with respect to a Wiener process as a consequence of the theorem of the third section. In the fifth section, we find asymptotic estimates for the stochastic integrals with respect to a compensated Poisson measure, using the theorem of the third section; the proofs of the results of this section are similar to the corresponding results from the section on asymptotic estimates of integrals with respect to a Wiener process. In the sixth section, we find asymptotic estimates of integrals over Lévy processes. In Section 2, we investigate one-dimensional SDEs with jumps. In such equations, in addition to drift and diffusion, there is a jump-like term, which is a stochastic integral over a compensated Poisson measure. In this section, we present sufficient conditions for the existence of power-law asymptotics of the solutions of such SDEs in the case when the drift has some power-law asymptotics, and the noise (diffusion and jumps) is bounded by some power-law function. In the first section, we consider examples of SDEs containing a stochastic Poisson differential and which can be solved explicitly. In the second section, we find the asymptotics of It processes with jumps in the case where the drift coefficient has a positive bound, when time goes to infinity and the noise characteristics grow "not very" fast. In the third section, we present some simple sufficient conditions that guarantee going to infinity (transience) a.s. of the SDE solutions with jumps. In the fourth section, we consider SDEs with jumps, the coefficients of which are power-law in a certain sense, namely, the drift is equivalent to some power-law function, and the noise characteristics have no more than some power-law growth. In Section 3, we study the asymptotics of classical SDE solutions (with Wiener noise). In the first section, using asymptotic estimates, we obtain known results on the asymptotic behavior of the solutions of the Ornstein–Uhlenbeck SDE and the geometric Brownian motion SDE. In the second section, we find the conditions for the exit of SDE solutions from some segment and estimate the probabilities of exiting the solutions through the left and right ends of the segment. In the third section, we find sufficient conditions for the SDE solution to go to infinity almost surely; for this we use the theory of Lyapunov functions developed in the second section. The results of the second and third sections generalize the theory of harmonic functions (scales) to study the asymptotic behavior of solutions of non-autonomous SDEs. In the fourth section, we derive a theorem on the asymptotics of solutions of SDEs with Wiener noise, which is a consequence of the more general result obtained in Section 2 of Chapter 4 for SDEs with jumps. In Section 4, we obtain results on the asymptotic behavior of solutions of multidimensional SDEs. In the first section, we move to a spherical coordinate system, that is, we move from one multidimensional SDE to a system of two SDEs: for the norm process and the angle process. In the first subsection, we introduce the concept of radial and tangential components of a matrix field and explore their properties. In the second subsection, we derive the SDE for the norm process using the multivariate Itô formula. In the third subsection, we use Itô's formula to obtain a multidimensional SDE for the angle process. In the second section, we investigate the limiting behavior of the norm of the solution, using the results of Section 3. In subsection 1, we formulate sufficient conditions for the solution not to fall into the origin of the coordinates a.s. In the second subsection, we formulate sufficient conditions for the angle of the solution to go to infinity (transience) a.s. In the third section, we prove an auxiliary result about the lower power asymptotics of the norm process, which will be necessary in the proof of the stabilization of the angle process. In the fourth section, we formulate and prove a general theorem on the stabilization of the angle process in the spherical coordinate system, after which we apply this theorem to the study of the stabilization of the solution angle in the Cartesian coordinate system. In the fifth section, we consider the SDE system in the spherical coordinate system and state sufficient conditions that guarantee the existence of power-law asymptotics for the radius process. | |
| dc.format.extent | 125 с. | |
| dc.identifier.citation | Юськович, В. К. Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у багатовимірному просторі : дис. … д-ра філософії : 111 Математика / Юськович Віктор Костянтинович. – Київ, 2024. – 125 с. | |
| dc.identifier.uri | https://ela.kpi.ua/handle/123456789/68483 | |
| dc.language.iso | uk | |
| dc.publisher | КПІ ім. Ігоря Сікорського | |
| dc.publisher.place | Київ | |
| dc.subject | стохастичне диференціальне рівняння | |
| dc.subject | асимптотична поведінка стохастичних систем | |
| dc.subject | асимптотична еквівалентність | |
| dc.subject | степенева асимптотика | |
| dc.subject | функції Ляпунова | |
| dc.subject | stochastic differential equation | |
| dc.subject | asymptotic behavior of stochastic systems | |
| dc.subject | asymptotic equivalence | |
| dc.subject | power-law asymptotics | |
| dc.subject | Lyapunov functions | |
| dc.subject.udc | 519.21 | |
| dc.title | Асимптотична поведінка розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у багатовимірному просторі | |
| dc.type | Thesis Doctoral |
Файли
Контейнер файлів
1 - 1 з 1
Ліцензійна угода
1 - 1 з 1
Ескіз недоступний
- Назва:
- license.txt
- Розмір:
- 8.98 KB
- Формат:
- Item-specific license agreed upon to submission
- Опис: