Мiшанi задачi для параболiчних систем в узагальнених просторах Соболєва
| dc.contributor.advisor | Лось, Валерiй Миколайович | |
| dc.contributor.author | Дяченко, Олександр Вiталiйович | |
| dc.date.accessioned | 2024-01-23T09:50:27Z | |
| dc.date.available | 2024-01-23T09:50:27Z | |
| dc.date.issued | 2023 | |
| dc.description.abstract | Дисертацiя присвячена дослiдженню характеру розв’язностi та регулярностi розв’язкiв лiнiйних мiшаних (тобто початково-крайових) задач для параболiчних за Петровським систем диференцiальних рiвнянь другого порядку в шкалах узагальнених гiльбертових анiзотропних просторiв Соболєва. Цi простори дають широке узагальнення анiзотропних версiй класичних гiльбертових просторiв Соболєва, якi зазвичай застосовуються до параболiчних рiвнянь. Розглядаються крайовi умови Дiрiхле та загальнi крайовi умови першого порядку. В анiзотропних просторах Соболєва i Гельдера параболiчнi мiшанi задачi дослiджено у працях М. С. Аграновича, М. I. Вiшика, В. О. Солоннiкова, O. О. Ладиженської, Н. М. Уральцевої, Ж.-Л. Лiонса, Е. Мадженеса, С. Д. Ейдельмана, С. Д. Iвасишена, М. В. Житарашу, Я. А. Ройтберга та iнших математикiв (1962 – 1998). Ними було встановлено низку фундаментальних результатiв про коректну розв’язнiсть (за Адамаром) скалярних i матричних параболiчних початково-крайових задач на вiдповiдних парах вказаних просторiв як додатних, так i вiд’ємних (стосовно просторiв Соболєва) порядкiв. В останнi роки В. М. Лось, В. А. Михайлець i О. О. Мурач (2013 – 2021) розробили теорiю розв’язностi скалярних параболiчних мiшаних задач (для одного диференцiального рiвняння) в узагальнених гiльбертових анiзотропних просторах Соболєва. Регулярнiсть (iнакше кажучи, гладкiсть) приналежних цим просторам розподiлiв задана парою дiйсних чисел i радiальною функцiєю, яка повiльно змiнюється на нескiнченностi та характеризує додаткову регулярнiсть стосовно основної гладкостi, заданої числами. Завдяки функцiональному параметру шкала цих просторiв тонше градуйована, нiж класичнi шкали просторiв Соболєва i Гельдера. Крiм того, вона отримується методом квадратичної iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових анiзотропних просторiв Соболєва, що дозволяє використовувати класичнi результати про характер розв’язностi параболiчних мiшаних задач у соболєвських просторах. Використання узагальнених просторiв Соболєва дозволило встановити новi результати про коректну розв’язнiсть скалярних параболiчних початково-крайових задач i отримати новi тонкi й точнi умови регулярностi розв’язкiв у порiвняннi з класичними результатами. Вiдмiтимо, що рiзнi простори узагальненої гладкостi виявилися корисними в теорiї рiвнянь з частинними похiдними L. Hormander (1983), F. Nicola та L. Rodino (2010), B. Paneah (2000) та теорiї випадкових процесiв N. Jacob (2001, 2002, 2005). Зокрема, монографiя В. А. Михайлеця i О. О. Мурача (2014) представляє теорiю елiптичних крайових задач для iзотропних аналогiв просторiв, що використовуються в дисертацiї. Параболiчнi мiшанi задачi для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку мають велике прикладне значення, оскiльки служать математичними моделями багатьох природничих явищ. Отже, дослiдження мiшаних задач для параболiчних за Петровським систем диференцiальних рiвнянь другого порядку в шкалах узагальнених просторiв Соболєва є актуальним i досить непростим завданням. Його труднiсть пов’язана, зокрема, з тим, що умови узгодження правих частин мiшаної задачi для систем диференцiальних рiвнянь є iстотно складнiшими, нiж для одного рiвняння. Дисертацiя складається з анотацiї (двома мовами — українською та англiйською), вступу, основної частини з трьох роздiлiв, висновкiв до роботи, списку використаних джерел i додатку. У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми дослiдження, сформульовано мету, об’єкт, предмет, завдання та методи дослiдження, зазначено наукову новизну та практичне значення отриманих результатiв, зв’язок роботи з науковими темами й особистий внесок здобувача, вказано, де було опублiковано та апробовано результати дисертацiї. У першому роздiлi подано огляд лiтератури, присвяченої дослiдженню параболiчних мiшаних задач у рiзних шкалах функцiональних просторiв, описано основний метод дослiдження — квадратичну iнтерполяцiю (з функцiональними параметром) пар гiльбертових просторiв та деякi її необхiднi властивостi й наведено вiдомостi про анiзотропнi та iзотропнi узагальненi гiльбертовi простори Соболєва, пов’язанi з параболiчною мiшаною задачею, а також їх зв’язок з класичними просторами Соболєва за допомогою вказаної iнтерполяцiї. У другому роздiлi проведено аналiз характеру розв’язностi неоднорiдних лiнiйних початково-крайових параболiчних задач у багатовимiрному цилiндрi для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку в узагальнених гiльбертових анiзотропних просторах Соболєва. Доведено, що неперервнi оператори, породженi цими задачами, встановлюють iзоморфiзми на придатних парах зазначених просторiв, тобто задачi є коректно розв’язними на цих парах. У третьому роздiлi отримано новi достатнi умови глобальної та локальної узагальненої або класичної регулярностi розв’язкiв дослiджуваних параболiчних задач, а також знайдено новi достатнi умови, за яких узагальнений розв’язок задачi є класичним. Цi умови сформульовано в термiнах приналежностi правих частин задач узагальненим просторам Соболєва та є точними на класi цих просторiв. У додатку наведено список публiкацiй здобувача за темою дисертацiї та вiдомостi про апробацiю її результатiв. Результати дисертацiї, якi визначають її наукову новизну: 1. Встановлено теорему про коректну розв’язнiсть неоднорiдних лiнiйних параболiчних початково-крайових задач для систем диференцiальних рiвнянь другого порядку на придатних парах узагальнених гiльбертових анiзотропних просторах Соболєва, тобто доведено, що оператори, породженi вказаними задачами, встановлюють iзоморфiзми на цих парах. 2. Знайдено достатнi умови глобальної (в усьому цилiндрi аж до його межi) регулярностi розв’язкiв дослiджуваних задач в узагальнених просторах Соболєва. 3. Знайдено достатнi умови локальної (в заданiй частинi цилiндра) регулярностi розв’язкiв зазначених задач в узагальнених просторах Соболєва.4. Отримано новi достатнi умови, за яких вказанi узагальненi частиннi похiднi розв’язкiв цих задач є неперервними в заданiй частинi цилiндра. 5. Знайдено новi достатнi умови класичностi узагальнених розв’язкiв дослiджуваних задач. Отриманi в дисертацiї результати можуть бути застосованi у дослiдженнi широкого класу практичних задач, для яких параболiчнi системи служать математичними моделями, зокрема, у вивченнi процесiв тепломасообмiну, бiологiчної та хiмiчної кiнетики. Розроблена методика може бути використана у дослiдженнi параболiчних мiшаних задач для систем диференцiальних рiвнянь довiльних порядкiв. | uk |
| dc.description.abstractother | The thesis presented for the academic degree Doctor of Philosophy in speciality 113 – Applied Mathematics. National Technical University of Ukraine ”Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”, Kyiv, 2023. The thesis is devoted to the investigation of the solvability character and the solutions regularity of linear mixed (i.e. initial-boundary-value) problems for Petrovskii parabolic systems of second-order differential equations in scales of generalized Hilbert anisotropic Sobolev spaces. These spaces give a broad generalization of anisotropic versions of classical Hilbert Sobolev spaces, which are usually applied to parabolic equations. We consider the Dirichlet boundary conditions and general first-order boundary conditions. In anisotropic Sobolev spaces and H¨older spaces, parabolic mixed problems were investigated in the works by M. S. Agranovich, M. I. Vishik, V. A. Solonnikov, O. A. Ladyzhenskaja, N. N. Ural’tzeva, J.-L. Lions, E. Magenes, S. D. Eidel’man, S. D. Ivasyshen, N. V. Zhytarashu, Ya. A. Roitberg and other mathematicians (1962 – 1998). They established a number of fundamental results about the well-posedness (in the sense of Hadamard) of scalar and matrix parabolic initial–boundary–value problems on appropriate pairs of the indicated spaces of both positive and negative (concerning Sobolev spaces) orders. In recent years, V. M. Los, V. A. Mikhailets, and O. O. Murach (2013 – 2021) elaborated a theory of solvability of scalar parabolic mixed problems (for single differential equation) in generalized Hilbert anisotropic Sobolev spaces. The regularity (otherwise saying, smoothness) of distributions belonging to these spaces is given by a pair of real numbers and by a radial function that varies slowly at infinity and characterizes a supplementary regularity with respect to the main smoothness given by the numbers. Owing to the function parameter, the scale of these spaces is calibrated more finely than the classical scales of Sobolev spaces and H¨older spaces. Moreover, this scale is obtained by the method of the quadratic interpolation with a function parameter of pairs of Hilbert anisotropic Sobolev spaces, which allows using the classical results about the character of solvability of parabolic mixed problems in Sobolev spaces. The use of generalized Sobolev spaces allowed ones to establish new results on the well-posedness of scalar parabolic initial-boundary-value problems and to obtain new fine and exact conditions for regularity of solutions as compared with the classical results. Note, that various spaces of generalized smoothness have proven useful in the theory of partial differential equations L. Hormander (1983), F. Nicola, L. Rodino (2010), B. Paneah (2000) and the theory of random processes N. Jacob (2001, 2002, 2005). In particular, the monograph of V. A. Mikhailets and O. O. Murach (2014) presents the theory of elliptic boundary value problems for isotropic analogues of spaces used in the thesis. Parabolic mixed problems for systems of second-order differential equations are of great practical importance because they serve as mathematical models of many natural phenomena. Thus, the investigation of mixed problems for Petrovskii parabolic systems of second-order differential equations in scales of generalized Sobolev spaces is an urgent and difficult enough task. Its difficulty is specifically due to the fact that the compatibility conditions for the right-hand sides of the mixed problem for a system of differential equations are far more complicated than those for a single equation. The thesis consists of the abstract (in two languages, Ukrainian and English), introduction, the main part divided in three chapters, conclusions to the work, list of references, and appendix. The introduction substantiates the urgency of the research topic, formulates the purpose, object, subject, tasks and methods of the research, indicates the scientific novelty and practical significance of the obtained results, the connection of the work with scientific topics, and the applicant’s personal contribution, and indicates where the thesis results were published and approbated. The first chapter gives a survey of the literature devoted to the investigation of parabolic mixed problems in various scales of function spaces, describes the main research method—quadratic interpolation (with a function parameter) of pairs of Hilbert spaces—and some of its necessary properties, and presents information about anisotropic and isotropic generalized Hilbert Sobolev spaces related to the parabolic mixed problem and also about their connection with the classical Sobolev spaces via the interpolation. The second chapter gives the analysis of the solvability character of inhomogeneous linear initial-boundary-value parabolic problems in a manydimensional cylinder for systems of second-order differential equations in generalized Hilbert anisotropic Sobolev spaces. We prove that continuous operators induced by these problems set isomorphisms on appropriate pairs of the mentioned spaces, i.e. that the problems are well posed on these pairs. The third chapter gives new sufficient conditions for global and local generalized or classical regularity of the solutions to the parabolic problems under investigation, and also yields new sufficient conditions for the generali-zed solution of the problem to be classical. These conditions are formulated in terms of the belonging of the right-hand sides of the problems to generalized Sobolev spaces and are exact on the class of these spaces. The appendix contains the list of the applicant’s publications on the thesis topic and the information about the approbation of its results. The results of the thesis that determine its scientific novelty: 1. We have established a theorem on the well-posedness of inhomogeneous linear parabolic initial–boundary–value problems for systems of secondorder differential equations on appropriate pairs of generalized Hilbert anisotropic Sobolev spaces; i.e., we have proved that operators induced by the indicated problems set isomorphisms on these pairs. 2. We have found sufficient conditions for the global regularity (i.e. on the whole cylinder up to its boundary) of solutions to the problems under investigation in generalized Sobolev spaces. 3. We have found sufficient conditions for the local regularity (i.e. in a given part of the cylinder) of solutions to the mentioned problems in generalized Sobolev spaces. 4. We have obtained new sufficient conditions for indicated generalized partial derivatives of solutions of these problems to be continuous in a given part of the cylinder. 5. We have found new sufficient conditions for generalized solutions of the problems under investigation to be classical. The results obtained in the thesis can be used in the investigation of a broad class of practical problems for which parabolic systems serves as mathematical models, specifically in the study of the heat-mass-transfer processes, biological and chemical kinetics. The developed method can be used in the study of parabolic mixed problems for systems of differential equations of arbitrary orders. | uk |
| dc.format.extent | 99 с. | uk |
| dc.identifier.citation | Дяченко, О. В. Мiшанi задачi для параболiчних систем в узагальнених просторах Соболєва : дис. … д-ра філософії : 113 Прикладна математика / Дяченко Олександр Вiталiйович. – Київ, 2023. – 99 с. | uk |
| dc.identifier.uri | https://ela.kpi.ua/handle/123456789/63994 | |
| dc.language.iso | uk | uk |
| dc.publisher | КПІ ім. Ігоря Сікорського | uk |
| dc.publisher.place | Київ | uk |
| dc.subject | параболiчне рiвняння | uk |
| dc.subject | система диференцiальних рiвнянь | uk |
| dc.subject | крайова задача | uk |
| dc.subject | узагальнений простiр Соболєва | uk |
| dc.subject | повiльно змiнна функцiя | uk |
| dc.subject | властивiсть iзоморфiзму | uk |
| dc.subject | iнтерполяцiя з функцiональним параметром | uk |
| dc.subject | узагальнений розв’язок | uk |
| dc.subject | однозначна розв’язнiсть | uk |
| dc.subject | розподiл | uk |
| dc.subject | локальна регулярнiсть | uk |
| dc.subject | класичний розв’язок | uk |
| dc.subject | Parabolic equation | uk |
| dc.subject | system of differential equations | uk |
| dc.subject | boundary value problem | uk |
| dc.subject | generalized Sobolev space | uk |
| dc.subject | slowly varying function | uk |
| dc.subject | isomorphism property | uk |
| dc.subject | interpolation with function parameter | uk |
| dc.subject | generalized solution | uk |
| dc.subject | unique solvability | uk |
| dc.subject | distribution | uk |
| dc.subject | local regularity | uk |
| dc.subject | classical solution | uk |
| dc.subject.udc | 517.956.4 | uk |
| dc.title | Мiшанi задачi для параболiчних систем в узагальнених просторах Соболєва | uk |
| dc.type | Thesis Doctoral | uk |
Файли
Контейнер файлів
1 - 1 з 1
Вантажиться...
- Назва:
- Diachenko_dys.pdf
- Розмір:
- 510.08 KB
- Формат:
- Adobe Portable Document Format
- Опис:
Ліцензійна угода
1 - 1 з 1
Ескіз недоступний
- Назва:
- license.txt
- Розмір:
- 9.1 KB
- Формат:
- Item-specific license agreed upon to submission
- Опис: