Метод коротаційного балкового сплайна для зіставлення кривих та визначення кутових точок на зображеннях
Дата
2026
Автори
Науковий керівник
Назва журналу
Номер ISSN
Назва тому
Видавець
КПІ ім. Ігоря Сікорського
Анотація
Кольцов Д. Р. Метод коротаційного балкового сплайна для зіставлення кривих та визначення кутових точок на зображеннях. – Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису.
Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора філософії за спеціальністю 113 Прикладна математика. – Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського», Київ, 2026. Метою роботи є підвищення точності та обчислювальної ефективності процесів геометричної апроксимації, ідентифікації кутових особливостей та зіставлення контурів на основі розробки та впровадження методу коротаційного балкового сплайна. Сплайни широко застосовуються в системах автоматизованого проєктування (САПР), у комп’ютерній графіці й анімації, для прокладання шляхів і траєкторій, для обробки зображень і в задачах розпізнавання образів. Розвиток сучасних сплайнів пов’язаний у першу чергу з САПР для естетичного проєктування геометричної форми, звідки й виникла постановка задачі сплайнів як побудова кривих вільної форми. Термін «сплайн» виник із назви гнучкої дерев’яної дошки, деформація якої при заданих обмеженнях і навантаженнях описувала гладку до другої похідної криву красивої форми. Деформування дошки при невеликих відхиленнях гарно описується математичною теорією балки, тому вона отримала значну кількість напрацювань, що активно впроваджувалися в практику побудови сплайнів. Це зокрема, моделі натягнутих балок, балки на пружних опорах (для згладжування неточно заданих точок), балки змінної жорсткості, можливість задання різних фізично обґрунтованих граничних умов на кінцях балки тощо. Недоліком балкових сплайнів є те, що крива передбачає явну форму залежності переміщення 𝑦 від координати 𝑥, тобто 𝑦 = 𝑦(𝑥), що обмежує максимальну зміну напрямку дотичної до неї в межах до 180°. Розширення можливостей таких сплайнів шляхом застосування теорії гнучких балок (так званої еластики), стримується складністю математичного апарату й ефективних рішень для еліптичних інтегралів різного виду. Цікавою була ідея Фоулера-Вільсона покращити кубічні інтерполяційні сплайни шляхом введення локальних координат для ділянок між заданими точками, причому кути, що виникають між ними, мають бути зведеними до нуля шляхом відповідного деформування цих ділянок. Це призводить до формування нелінійної системи рівнянь, що розв’язуються ітераційно. Недоліком такого підходу є необхідність задання великої кількості точок вимірювання, наприклад, побудова кола вимагає як мінімум 40 точок. Популярні класичні сплайни Безьє виникли для розв'язання задач проєктування в автомобілебудуванні. Основним недоліком є їхній глобальний характер. Грубо кажучи, якщо ми маємо криву 𝑁-го порядку, то зміна положення, скажімо на вектор ∆ певної контрольної точки призводить до відхилення сплайна всього на величину трохи більшу за ∆/𝑁 біля цієї точки і на подібну зміну в околі всіх інших точок (за винятком граничних). Це утруднює побудову й корекцію кривої. Як противага їм була запропонована теорія В-сплайнів, що мають локальний характер, але і вони не проходять через задані точки. Вони оперують дуже багатьма допоміжними параметрами, вузли, їх кількість, відстані між ними, їх кратність, поняття відкритих і періодичних сплайнів, ваги окремих точок (NURBS) – і, як відзначається в роботах конструкторів і дизайнерів в машинобудуванні – потрібні роки, щоб опанувати техніку побудови сплайнів оптимальної форми. Щобільше, ці популярні техніки сплайнування не гарантують побудову естетичних кривих, що мають певні інтегральні властивості, зокрема мінімум інтеграла по довжині від квадрата кривини. Цей критерій прямо випливає з теорії балок і широко застосовується в геометричному проєктуванні. Відповідність критеріям естетичності призводить до постановки і розв'язання складної задачі оптимізації для класичних сплайнів, що вимагає пошуку оптимального розміщення вузлів і положень контрольних точок. Альтернативними методами є застосування аналітичних кривих, таких як клотоїди, еластики, лог-естетичних кривих. Проте вони вимагають аналітичних процедур інтегрування, «склеювання ділянок», і не можуть бути універсальним засобом, а можуть застосовуватися лише як певні перехідні зони між заданими точками й напрямками. Значною проблемою геометричного моделювання є згладжування заміряних точок. Така задача виникає для обробки результатів сканування промислових об’єктів з метою оцінки їх технічного стану, для задач реверсної інженерії, розпізнавання образів, в тому числі для медицини. Коли відстані між точками заміру велика, то можна застосовувати класичні В-сплайни, які необхідно адаптувати для врахування різної відстані між точками (густини точок вимірювання). Коли відстань між точками заміру менша, ніж похибки вимірювань, то застосування кубічних сплайнів, чи В-сплайнів вимагає попередніх процедур сегментації, обробки окремих сегментів, потім накладання їх з різними вагами, і лише потім згладжування. Тому для геометричного моделювання майже завжди застосовується Гаусівське (на основі ядер) згладжування, яке в статистичних застосуваннях вважається неефективним, проте для геометричних задач є майже безальтернативним. Такі підходи не є адаптивними до відстані між точками, вони застосовуються окремо до координат по 𝑦 та 𝑥, і при більшому згладжуванні зменшують масштаб отриманої фігури. Як бачимо, для практично важливих задач інтерполяції, дизайну та згладжування застосовуються зовсім різні методи, хоча на практиці буває важко зрозуміти різницю в їхніх постановках (при зменшенні похибки і густини точок вимірювань задача згладжування переходить в інтерполяцію). Таким чином, важливим є створення універсального методу, який би однаковим чином був ефективним для задач дизайну (найестетичніша крива), задач інтерполяції та задач згладжування. Балкові сплайни, мають багато очевидних переваг, зокрема, щодо точного проходження сплайна через задані контрольні точки, відповідності довільно сформульованим граничним умовам, застосування адаптивних параметрів згладжування, застосування ділянок різних властивостей гнучкості тощо. Тому врахування минулих здобутків в теорії балкових сплайнів, ефективної ідеї Фоулера-Вільсона щодо використання локальних координат (неявного представлення залежності між координатами) може стати солідною основою створення нового методу в теорії лінійних сплайнів, а саме коротаційного балкового сплайна. У першому розділі дисертаційної роботи виконано обґрунтування актуальності задачі геометричного моделювання та згладжування контурів складної форми, що виникають у задачах комп’ютерної геометрії, обробки зображень та автоматизованого проєктування. Показано значення побудови гладких інтерполяційних кривих для задач відновлення форм, зокрема при аналізі та реконструкції пазлів. Розглянуто основні поняття добротності сплайнів та сформульовано вимоги до якості геометричних кривих, включаючи неперервність похідних, поведінку кривини та енергетичні критерії гладкості. Наведено огляд класичних методів побудови сплайнів, зокрема кубічних інтерполяційних сплайнів і кривих Безьє, та досліджено їх можливості й обмеження при моделюванні складних геометричних форм. Проаналізовано сучасні підходи до ідентифікації та зіставлення контурів, що використовуються для визначення відповідності геометричних елементів, а також їх застосування у задачах автоматичного складання та аналізу складених структур. На основі проведеного аналізу сформульовано постановку задач дослідження, визначено основні напрямки розроблення методу та окреслено вимоги до математичної моделі, що забезпечує побудову гладких і фізично узгоджених кривих. Другий розділ дисертаційної роботи присвячено розробленню загальної математичної моделі коротаційного балкового сплайна та дослідженню його інтерполяційних властивостей. У розділі сформульовано базову ідею методу, що полягає у модифікації класичного балкового підходу шляхом введення додаткових (удаваних) точок, які дозволяють керовано змінювати локальну кривину та забезпечувати стабільність розрахункового процесу. Запропоновано новий підхід до визначення нормального напрямку деформованої кривої, що забезпечує неперервність нахилу та узгодженість геометричних параметрів між сусідніми сегментами сплайна. Розроблено алгоритм розрахунку коротаційного балкового сплайна, який включає послідовне уточнення геометрії кривої шляхом ітераційного коригування параметрів системи. Описано процедуру виконання ітерацій та умови досягнення стабілізованого розв'язку. Можливості методу щодо інтерполяції показано на прикладі еліпса з відношенням півосей 2:1, який є нетривіальним тестовим об'єктом з огляду на те, що його кривина змінюється вздовж контуру у 8 разів. Також розглянуто задачу інтерполяції прямокутника без явного задання кутових точок, що дозволило продемонструвати здатність методу коректно відновлювати форму та виконувати природне згладжування кутових ділянок. Для порівняння наведено результати побудови контурів із використанням параметричного сплайна, який забезпечує прийнятну якість апроксимації, проте потребує додаткових процедур визначення параметра 𝑡, що ускладнює практичне застосування методу. Окремо розглянуто задачу інтерполяції типу 𝐶¹ – задачу Ерміта, у межах якої досліджено побудову кривих між двома заданими точками для симетричних, асиметричних та несиметричних конфігурацій при різних варіантах граничних умов. Проведено порівняльний аналіз результатів із кривими Безьє та моделлю геометрично нелінійної балки. Третій розділ дисертаційної роботи присвячено дослідженню апроксимаційних властивостей коротаційного балкового сплайна. Введено поняття відстані між вхідними дискретними точками та апроксимуючим контуром, що використовується як критерій збіжності ітераційного процесу. Досліджено задачу відновлення кола за дискретним набором точок із різними рівнями випадкових відхилень. Виконано порівняння з існуючими підходами для задачі реконструкції дуги кола за п'ятьма точками, де метод коротаційного балкового сплайна продемонстрував результати, співставні з відомими рішеннями. Крім того, наведено приклади відновлення складніших геометричних форм та досліджено вплив параметра податливості моделі на характер отриманих розв'язків і стабільність обчислювального процесу. Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячено розвитку теоретичних засад і практичних алгоритмів застосування коротаційного балкового сплайна до задач обробки та відтворення контурів реальних об’єктів. На початку розділу наведено теоретичні викладки, пов’язані з введенням адаптивного параметра згладжування та поняття удаваної кутової точки, що дозволяє описувати локальні особливості геометрії контуру без явного задання розривів гладкості. Запропоновано критерії зіставлення кривих, основані на різниці кривин, а також запропоновано метод визначення кутових точок на основі аналізу локальної роботи. Розглянуто формування вхідних даних для алгоритму коротаційного балкового сплайна. Описано метод сканування пазлів і процедуру отримання дискретного набору точок контуру, що використовується як початкова геометрична інформація. Запропоновано алгоритм впорядкування точок, спрямований на усунення дефектів, спричинених похибками сканування та цифрової обробки зображень. Наведено результати перевірки коректності запропонованого підходу до визначення кутових точок. Зокрема, представлено алгоритм відтворення зображення на прикладі пазлів, що складається з 60 елементів, який ілюструє можливості методу при роботі зі складними контурами. Досліджено вплив адаптивної жорсткості моделі на результати обчислень та характер відновлених форм, що дозволило оцінити роль параметрів згладжування у забезпеченні точності та стабільності розрахункового процесу. Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному: 1. Уперше розроблено метод коротаційних балкових сплайнів, у якому, на відміну від існуючого методу Фоулера-Вільсона, введено удавані точки та нормальні вектори, повернуті на локальний кут деформації, що дало змогу звести геометрично нелінійну задачу до ітераційної процедури лінійних розрахунків та забезпечити побудову енергетично оптимальної кривої у формі клотоїди. 2. Уперше запропоновано метод адаптивного згладжування артефактів на основі моделі балки у пружному середовищі, який відрізняється від існуючих підходів використанням механізму адаптивної жорсткості локальних опор із прямою залежністю коефіцієнта зв’язку від відстані між вузлами, помноженої на розмірний параметр h –4 , що дало змогу забезпечити властивість рівномірної згладжуваності контуру та теоретично гарантувати ефективне усунення протяжних артефактів незалежно від щільності експериментальних даних. 3. Удосконалено спосіб ідентифікації кутових точок на геометричних контурах, що відрізняється від існуючих введенням критерію «локальної роботи» та використанням поняття «кутової удаваної точки» з допуском розриву кута за умови нульових моментів, що дало змогу забезпечити геометричну коректність опису контурів із розривами першого роду за кутом нахилу дотичної. 4. Отримало подальший розвиток математичне оцінювання схожості кривих, яке відрізняється впровадженням метрики «взаємної енергії», що дало змогу забезпечити високу достовірність зіставлення зашумлених контурів складних геометричних об’єктів. Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що: 1. Розроблено обчислювально збіжний ітераційний алгоритм побудови коротаційних балкових сплайнів, який, на відміну від існуючих бібліотек апроксимації, дозволяє одночасно виконувати згладжування зашумлених даних та збереження геометричних особливостей (кутів) без перепараметризації кривої. 2. Розроблено алгоритмічне забезпечення для автоматизованої ідентифікації кутових точок на цифрових зображеннях, де використання критерію «локальної роботи» забезпечило надійну сепарацію істинних вершин від гладких ділянок за рахунок 8–30-кратного зниження значення енергетичного функціоналу при введенні кутової удаваної точки, тоді як для неперервних ділянок цей показник змінюється лише на 10–30%. 3. Розроблено ефективну методику зіставлення криволінійних об’єктів за інтегральною метрикою «взаємної енергії» та створено програмне забезпечення для ідентифікації об’єктів за їхньою межею в умовах низької якості оцифрування. Розроблені програми передбачають використання не складних методів динамічного програмування та високовитратних переборних стратегій, а прямих розрахунків, що значно спрощує архітектуру програмних систем машинного зору при збереженні високої достовірності результатів зіставлення складних геометричних форм. 4. Впроваджено результати досліджень, здійснених автором під час роботи в рамках договору № ДНДЧ/05.02/267/24 від 26.12.2024 р. «Розробка методів та алгоритмів розрахунку напружено-деформованого стану пружних циліндричних, конічних та тороїдальних оболонок методом узгоджених січень» (Товариство з обмеженою відповідальністю «ЛІРА САПР»). 5. Наукові та практичні результати роботи впроваджено в освітній процес кафедри прикладної математики Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського» при проведенні лекційних занять з освітнього компонента «Геометричне моделювання» для здобувачів другого (магістерського) рівня вищої освіти за освітньо-науковою програмою «Машинне навчання та математичне моделювання» за спеціальністю F1 Прикладна математика.
Опис
Ключові слова
сплайн, згладжування, кутова точка, кривина, довжина дуги, диференційні рівняння, оптимізація, розпізнавання, обробка зображень, деформація, інтерполяція, геометричне моделювання, математичне моделювання, фільтрація зображення, дефекти, spline, smoothing, corner point, curvature, arc length, differential equations, optimization, recognition, image processing, deformation, interpolation, geometric modeling, mathematical modelling, image filtering, defects
Бібліографічний опис
Кольцов, Д. Р. Метод коротаційного балкового сплайна для зіставлення кривих та визначення кутових точок на зображеннях : дис. ... д-ра філософії : 113 Прикладна математика / Кольцов Дмитро Романович. - Київ, 2026. - 180 с.